Zadatak za vijetnamske osnovce
Poslato: Petak, 29. Maj 2015, 01:06Verovatno ste čuli za zadatak o kojem je dosta pisano u vestima proteklih dana, koji su navodno dobili đaci 3. razreda jedne vijetnamske osnovne škole, a koji je dobro namučio čak i učitelje, pa i doktore matematike. Treba popuniti prazna polja ciframa od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]9[/inlmath] (svaka mora biti upotrebljena jednom i sve moraju biti različite) tako da, idući sleva nadesno po ovoj cik-cak figuri, dobijete tačnu jednakost:
Ukupan broj mogućnosti predstavlja broj načina na koje [inlmath]9[/inlmath] različitih cifara možemo rasporediti na [inlmath]9[/inlmath] različitih mesta, a to je, naravno, broj permutacija od [inlmath]9[/inlmath] elemenata bez ponavljanja, tj. [inlmath]9!=362\:880[/inlmath]. Pomalo preveliki broj da bi se pokušavalo nasumice.
Mogućih rešenja ima više. Komentatori na raznim internet sajtovima dali su neka od njih, ali ne navodeći postupak kojim su do njih došli (možda i pisanjem odgovarajućeg programa, što nije teško). Ali ja bih voleo da mi ovde pokušamo da pronađemo neku strategiju u rešavanju. Za početak, ja bih napisao svoje razmišljanje, a rado bih čuo i vaša.
Brojeve u nepoznatim poljima obeležimo redom sa [inlmath]a,b,c,d,e,f,g,h,i[/inlmath]. Tada jednačina glasi
[dispmath]a+\frac{13b}{c}+d+12e-f-11+\frac{gh}{i}-10=66[/dispmath]
ili, posle malo sređivanja,
[dispmath]a+d-f+12e+\frac{13bi+cgh}{ci}=87[/dispmath]
I već iz ovakvog oblika jednačine možemo malo „suziti obruč“ od onih početnih [inlmath]362\:880[/inlmath] načina raspoređivanja.
Naime, pošto su i [inlmath]a+d-f+12e[/inlmath] i [inlmath]87[/inlmath] celi brojevi, jasno je da i [inlmath]\frac{13bi+cgh}{ci}[/inlmath] mora biti ceo broj. Da bi taj broj bio ceo, potrebno je da brojilac, [inlmath]13bi+cgh[/inlmath], istovremeno bude deljiv i sa [inlmath]c[/inlmath] i sa [inlmath]i[/inlmath].
Odatle odmah vidimo da [inlmath]c[/inlmath] ne može biti [inlmath]7[/inlmath]. Kad bi bio [inlmath]7[/inlmath], tada bi brojilac bio [inlmath]13bi+7gh[/inlmath] i morao bi biti deljiv sa [inlmath]7[/inlmath], što znači da bi proizvod [inlmath]bi[/inlmath] morao biti deljiv sa [inlmath]7[/inlmath]. Ali, pošto ni [inlmath]b[/inlmath] ni [inlmath]i[/inlmath] ne mogu biti sedmice (sedmica je već iskorišćena za [inlmath]c[/inlmath]), ovaj slučaj je nemoguć. Naravno, na isti način zaključujemo da ni [inlmath]i[/inlmath] ne može biti [inlmath]7[/inlmath].
Zatim, ako je [inlmath]c=9[/inlmath], tada brojilac glasi [inlmath]13bi+9gh[/inlmath] i mora biti deljiv sa [inlmath]9[/inlmath], što znači da i proizvod [inlmath]bi[/inlmath] mora biti deljiv sa [inlmath]9[/inlmath]. To sad daje dva moguća podslučaja, [inlmath]\left(b,i\right)=\left(3,6\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(b,i\right)=\left(6,3\right)[/inlmath]. I onda uvrštavati te vrednosti i isprobavati svaki od tih slučaja...
Naravno, to je dosta posla, mada se neka eliminacija mogućnosti time ipak postiže.
Izvol'te sa svojim idejama za rešavanje.
- zadatak.png (8.19 KiB) Pogledano 847 puta
Ukupan broj mogućnosti predstavlja broj načina na koje [inlmath]9[/inlmath] različitih cifara možemo rasporediti na [inlmath]9[/inlmath] različitih mesta, a to je, naravno, broj permutacija od [inlmath]9[/inlmath] elemenata bez ponavljanja, tj. [inlmath]9!=362\:880[/inlmath]. Pomalo preveliki broj da bi se pokušavalo nasumice.
Mogućih rešenja ima više. Komentatori na raznim internet sajtovima dali su neka od njih, ali ne navodeći postupak kojim su do njih došli (možda i pisanjem odgovarajućeg programa, što nije teško). Ali ja bih voleo da mi ovde pokušamo da pronađemo neku strategiju u rešavanju. Za početak, ja bih napisao svoje razmišljanje, a rado bih čuo i vaša.
Brojeve u nepoznatim poljima obeležimo redom sa [inlmath]a,b,c,d,e,f,g,h,i[/inlmath]. Tada jednačina glasi
[dispmath]a+\frac{13b}{c}+d+12e-f-11+\frac{gh}{i}-10=66[/dispmath]
ili, posle malo sređivanja,
[dispmath]a+d-f+12e+\frac{13bi+cgh}{ci}=87[/dispmath]
I već iz ovakvog oblika jednačine možemo malo „suziti obruč“ od onih početnih [inlmath]362\:880[/inlmath] načina raspoređivanja.
Naime, pošto su i [inlmath]a+d-f+12e[/inlmath] i [inlmath]87[/inlmath] celi brojevi, jasno je da i [inlmath]\frac{13bi+cgh}{ci}[/inlmath] mora biti ceo broj. Da bi taj broj bio ceo, potrebno je da brojilac, [inlmath]13bi+cgh[/inlmath], istovremeno bude deljiv i sa [inlmath]c[/inlmath] i sa [inlmath]i[/inlmath].
Odatle odmah vidimo da [inlmath]c[/inlmath] ne može biti [inlmath]7[/inlmath]. Kad bi bio [inlmath]7[/inlmath], tada bi brojilac bio [inlmath]13bi+7gh[/inlmath] i morao bi biti deljiv sa [inlmath]7[/inlmath], što znači da bi proizvod [inlmath]bi[/inlmath] morao biti deljiv sa [inlmath]7[/inlmath]. Ali, pošto ni [inlmath]b[/inlmath] ni [inlmath]i[/inlmath] ne mogu biti sedmice (sedmica je već iskorišćena za [inlmath]c[/inlmath]), ovaj slučaj je nemoguć. Naravno, na isti način zaključujemo da ni [inlmath]i[/inlmath] ne može biti [inlmath]7[/inlmath].
Zatim, ako je [inlmath]c=9[/inlmath], tada brojilac glasi [inlmath]13bi+9gh[/inlmath] i mora biti deljiv sa [inlmath]9[/inlmath], što znači da i proizvod [inlmath]bi[/inlmath] mora biti deljiv sa [inlmath]9[/inlmath]. To sad daje dva moguća podslučaja, [inlmath]\left(b,i\right)=\left(3,6\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(b,i\right)=\left(6,3\right)[/inlmath]. I onda uvrštavati te vrednosti i isprobavati svaki od tih slučaja...
Naravno, to je dosta posla, mada se neka eliminacija mogućnosti time ipak postiže.
Izvol'te sa svojim idejama za rešavanje.