MATEMANIJA

Napisati broj [inlmath]1000000[/inlmath] kao proizvod dva prirodna broja u čijim se dekadnim zapsima ne pojavljuje nijedna [inlmath]0[/inlmath].

Krenuo sam od broja [inlmath]10[/inlmath] da bih video ima li neke pravilnosti, kad ono-ima:
[dispmath]10=5\cdot2[/dispmath][dispmath]10^2=5^2\cdot2^2[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath][dispmath]10^6=5^6\cdot2^6=15625\cdot64[/dispmath]

Ili, rastavimo [inlmath]1000000[/inlmath] na proste činioce (što, uostalom, i činimo u 90% ovakvih zadataka ), čime dobijemo
[dispmath]1000000=10^6=\left(2\cdot5\right)^6=2^6\cdot5^6=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5[/dispmath]
Možemo primetiti to da, ako bi neki od činilaca broja [inlmath]1000000[/inlmath] sadržao u sebi i dvojku i peticu, tada bi on, zapravo, sadržao desetku, pa bi mu poslednja cifra bila nula i ne bi ispunjavao uslov ovog zadatka. Dakle, neophodan uslov da tražena dva činioca nemaju nule u svom zapisu bio bi taj da se sastoje ili samo od dvojaka, ili samo od petica. Prema tome, „kandidati“ za ta dva činioca su [inlmath]2^6[/inlmath] i [inlmath]5^6[/inlmath]. Njihovim izračunavanjem ([inlmath]2^6=64[/inlmath] i [inlmath]5^6=\left(5^3\right)^2=125^2=15625[/inlmath]) uveravamo se da ne sadrže u svom zapisu nijednu nulu.