MATEMANIJA

Prenosim još jedan zadatak sa sajta B92:
http://www.b92.net/zivot/vesti.php?yyyy ... id=1059052

Naime studenti više matematike su se zbunili kad su naleteli na matematički zadatak o dve kovanice od 50 centi.

Zadatak je pokazivao dve kovanice, s 12 strana jednake dužine, kako stoje na stolu jedna do druge, pri čemu su spojene jednom svojom stranom.

Zadatak je bio da se odredi pod kojim uglom je x u sredini, a ponuđeni su im odgovori od 12 do 72 stepena.

Ja moram reći da mi nije jasno šta bi to u ovom zadatku moglo biti toliko teško, pogotovo studentima više matematike, ali evo, pa sami procenite:


Rešenje koje je objavljeno na YouTubu, po meni je nepotrebno zakomplikovano. Može se to rešiti i mnogo jednostavnije, bez uočavanja tog jednakokrakog trougla.
Ali, neću zasad otkrivati svoju ideju, pustiću prvo vas.

Docrtavanjem trece kovanice od ispod dobijamo jednakostranican trougao, jesam li pogodio?

Ja sam bio zamislio jedno drugo rešenje, al' svejedno, ovo tvoje mi se čini još jednostavnijim i mnogo mi se svidelo. Svaka čast!
Doduše, u tvom rešenju se intuitivno pretpostavlja (što je i tačno) da se donje kose stranice levog i desnog petougla nalaze na takvom međusobnom rastojanju da se donji dvanaestougaonik može dopisati ispod tako da se njegove dve stranice tačno poklope s ove dve. Ako se na ispitu traži egzaktan račun, onda bi valjalo ovu tvrdnju i dokazati, ali za neku praktičnu primenu ovo tvoje razmišljanje je sasvim dovoljno.

A evo i rešenja koje je meni palo na pamet. Znamo da je zbir svih spoljašnjih uglova u [inlmath]n[/inlmath]-touglu jednak [inlmath]360^\circ[/inlmath]. (Logično, jer kad crtamo [inlmath]n[/inlmath]-tougao iz jednog poteza, kao jednu izlomljenu liniju, tada pri svakom prelasku preko nekog njegovog temena zakrećemo liniju za određen ugao, a kad dođemo do temena iz kog smo krenuli, dotad smo ukupno „obrnuli“ ugao od [inlmath]360^\circ[/inlmath].)
E sad, ako je [inlmath]n[/inlmath]-tougao pravilan, kao što jeste u ovom slučaju, tada je, dakle, svaki od njegovih [inlmath]n[/inlmath] uglova jednak [inlmath]\frac{360^\circ}{n}[/inlmath]. Pošto je ovde u pitanju dvanaestougao, tj. [inlmath]n=12[/inlmath], svaki od njegovih spoljašnjih uglova je jednak [inlmath]\frac{360^\circ}{12}=30^\circ[/inlmath].
Pošto je traženi ugao [inlmath]x[/inlmath] jednak zbiru dva spoljašnja ugla (tj. zbiru spoljašnjeg ugla levog dvanaestougla i spoljašnjeg ugla desnog dvanaestougla), nalazimo da je [inlmath]x=2\cdot30^\circ=60^\circ[/inlmath].

Dakle, jednostavnije rešenje nego na YouTubu, ali ipak ne tako elegantno kao Pentagramovo.
Pentagramovo sjajno rešenje mi je potvrda da nisam pogrešio što sam zadatak met'o ovde na forum.

Naravno, tema i dalje ostaje otvorena, ako neko ima da ponudi još neko zanimljivo rešenje.

Svidela su mi se oba vaša rešenja.
Imam primedbu na sliku.
Jedini jasno označen ugao na slici ima trideset stepeni.
Zašto nije jasno označen ugao na koji se misli?
Ovako može da se shvati i tako kako sam ja odgovorio.
Tačno je da je onda "višak" na slici druga kovanica, no svejedno nije jasno označen ugao koji se traži.