MATEMANIJA

Pade mi na pamet ovakav zadatak (ja sam ga smišljao, trebalo bi da je originalan ):

Poslodavac i kandidat za posao se dogovaraju oko plate. Interes poslodavca je da plata bude što manja (naravno) a interes kandidata je da bude što veća (opet naravno). Dogovorili su se da svako napiše svoj broj na parčetu papira pa da se ti brojevi uporede. Brojevi su celobrojne vrednosti od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]1000[/inlmath]. Uslovi su sledeći:

• Ako je apsolutna razlika ta dva broja od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]250[/inlmath] usvaja se veća plata.
• Ako je apsolutna razlika ta dva broja od [inlmath]251[/inlmath] do [inlmath]500[/inlmath] usvaja se manja plata.
• Ako je apsolutna razlika ta dva broja od [inlmath]501[/inlmath] do [inlmath]750[/inlmath] usvaja se veća plata.
• Ako je apsolutna razlika ta dva broja od [inlmath]751[/inlmath] do [inlmath]1000[/inlmath] usvaja se manja plata.

Šta mislite, kakvo bi bilo optimalno rešenje? Za jednog i za drugog. Tj šta biste napisali da ste poslodavac odnosno kandidat?
Svako gleda svoj interes, razmišljajući naravno i o odgovorima "protivnika".
Tako da je teško reći šta je najbolje za poslodavca ne uzimajući u obzir odgovore kandidata i obrnuto...

Da li je plata dnevna, nedeljna ili mesecna? S obzirom da su male sume u pitanju, dacu odgovor kao da je dnevna. Kandidat bi napisao [inlmath]1000[/inlmath], a poslodavac [inlmath]249[/inlmath]. Poslodavac, tj. ja, nikad ne bi uzeo [inlmath]0[/inlmath], zato sto zna da ce kandidat hteo ne hteo da otkaz (ko još radi za dzabe ), a samim tim sto se dogovaramo oko posla znaci da mi trebaju radnici. Kandidat bi sad po ovakvoj postavci trebao da dobije [inlmath]249[/inlmath] dinara, ali posto sam ja i kandidat situacija ce biti malo drugacija . Kao kandidat, dajem otkaz zbog male plate. Onda poslodavac (opet ja) nudi novu ponudu s zeljom da vrati kandidata (jer kao sto rekoh - trebaju mu radnici ). Nova ponuda je - aritmeticka sredina tih dveju cena, tj. [inlmath]625[/inlmath] dinara (za pola dinara vise, zbog pretrpljenog stresa ).

pentagram142857 je napisao:Da li je plata dnevna, nedeljna ili mesecna?

Dobro, neka je dnevna, u pravu si, treba biti precizan u postavci, mada ja ne vidim neku razliku, nije precizirana novčana jedinica niti vremenski period.
Osim u naslovu teme koji sam dao zbog eventualne viralnosti same teme.

Ovde je bitno da poslodavac ima [inlmath]1001[/inlmath] strategiju na raspolaganju i da kandidat ima [inlmath]1001[/inlmath] strategiju na raspolaganju. To je realno matrica [inlmath]1001[/inlmath] puta [inlmath]1001[/inlmath].
Da li da istražujemo tih [inlmath]1002001[/inlmath] mogućnosti?

Da dodefinišem: poslodavac i kandidat ne znaju šta će onaj drugi napisati.
Imajući u vidu interese poslodavca i kandidata, šta je najbolje za svakog od njih?
I gde im se strategije seku, tj ukrštaju, na to sam mislio.

p.s. Naravno da je moguće i uopštenje zadatka na bilo koji način, kao i različita tumačenja. Ja za sada ne znam rešenje, pitanje je da li i postoji uz zadate kriterijume (smeta mi i celobrojnost, no šta ću, moj je zadatak).

Evo i dodatnog primera:

Na dati znak igrači [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] podižu istovremeno i nezavisno jedan od drugog jedan, dva ili tri prsta. Ukoliko je zbir svih podignutih prstiju paran, toliko novčanih jedinica koliko je podignutih prstiju dobija igrač [inlmath]A[/inlmath]. U suprotnom, ukoliko je zbir svih podignutih prstiju neparan, toliko novčanih jedinica koliko je podignutih prstiju dobija igrač [inlmath]B[/inlmath]. Formirati matricu plaćanja i odrediti optimalne strategije odigravanja.

Matrica plaćanja za evidentne strategije svakog od igrača je:
[dispmath]\begin{bmatrix}
2 & -3 & 4\\
-3 & 4 & -5\\
4 & -5 & 6
\end{bmatrix}[/dispmath]
Na primer, ako [inlmath]A[/inlmath] podigne jedan prst i [inlmath]B[/inlmath] podigne jedan prst, zbir svih podignutih prstiju je paran i iznosi [inlmath]2[/inlmath], pa toliko novčanih jedinica koliko je podignutih prstiju, tj. [inlmath]2[/inlmath], dobija igrač [inlmath]A[/inlmath] od igrača [inlmath]B[/inlmath]. To je element [inlmath]a_{11}[/inlmath] gornje matrice. S druge strane, ako [inlmath]A[/inlmath] podigne jedan prst i [inlmath]B[/inlmath] podigne dva prsta, zbir svih podignutih prstiju je neparan i iznosi [inlmath]3[/inlmath], pa toliko novčanih jedinica koliko je podignutih prstiju, tj. [inlmath]3[/inlmath], dobija igrač [inlmath]B[/inlmath] od igrača [inlmath]A[/inlmath]. Tj, dobija zapravo igrač [inlmath]B[/inlmath] te se piše [inlmath]-3[/inlmath] novčane jedinice, ako se razumemo. To je element [inlmath]a_{12}[/inlmath] gornje matrice. Naime, po dogovoru se u matrici prikazuju dobici za [inlmath]A[/inlmath] i samim tim gubici za [inlmath]B[/inlmath].

Rešenje ovog zadatka je da igrač [inlmath]A[/inlmath] kao i igrač [inlmath]B[/inlmath] treba da najčešće podižu dva prsta, tj. u [inlmath]50[/inlmath] posto odigravanja, a u po [inlmath]25[/inlmath] posto odigravanja da koriste ostale dve strategije.
Ako je ovo jasno, ja bih nastavio s matričnim igrama.
Ako nije, obrazložio bih ovu prostu igru.
Pa da vidimo i onaj moj prethodni zadatak u temi.

Aj'mo pre nego što se vratimo na glavni zadatak, da se malo zadržimo na ovom primeru, kad si ga već dao. Mislim, deluje mi mnogo jednostavnije (mada i dalje daleko od jednostavnog) nego onaj prvobitni primer s platom, tako da bi valjalo prvo izanalizirati ovu [inlmath]3\times3[/inlmath] matricu pre nego što se vratimo na slučaj [inlmath]1001\times1001[/inlmath], zar ne?

Razmišljam ovako. Neka sam ja igrač [inlmath]A[/inlmath]. Ja ću, za početak, poći od (pogrešne ili ne) pretpostavke da su verovatnoće da igrač [inlmath]B[/inlmath] podigne jedan, dva ili tri prsta – međusobno jednake. I da svaka od njih, samim tim, iznosi [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath]. U tom slučaju, matematičko očekivanje mog dobitka iznosi:
– ako podignem jedan prst: [inlmath]E\left(X\right)=\frac{1}{3}\cdot2+\frac{1}{3}\cdot\left(-3\right)+\frac{1}{3}\cdot4=1[/inlmath]
– ako podignem dva prsta: [inlmath]E\left(X\right)=\frac{1}{3}\cdot\left(-3\right)+\frac{1}{3}\cdot4+\frac{1}{3}\cdot\left(-5\right)=-\frac{4}{3}[/inlmath]
– ako podignem tri prsta: [inlmath]E\left(X\right)=\frac{1}{3}\cdot4+\frac{1}{3}\cdot\left(-5\right)+\frac{1}{3}\cdot6=\frac{5}{3}[/inlmath]
Samim tim, rezonujem da bi bilo najbolje da podignem tri prsta, budući da je tada matematičko očekivanje mog dobitka maksimalno.

Međutim, ovo je sve bilo, kao što sam naglasio, pod pretpostavkom da je podjednako verovatno da će igrač [inlmath]B[/inlmath] podići bilo koji broj prstiju. Ali, pošto ja ne sumnjam u inteligenciju igrača [inlmath]B[/inlmath], ja onda pretpostavljam da će igrač [inlmath]B[/inlmath] poći od toga da ću ja podići tri prsta, pa da će on zbog toga zaključiti da treba da podigne dva prsta (kako bi, je l' te, zbir podignutih prstiju bio neparan i on uzeo novce).

Međutim, igrač [inlmath]B[/inlmath] takođe ne sumnja u moju inteligenciju, pa će predvideti da sam ja predvideo da će on podići dva prsta, i da ja onda baš neću podići tri prsta, kako sam prvobitno planirao, već dva prsta (kako bi zbir prstiju bio paran). E onda igrač [inlmath]B[/inlmath] i to predvidi, pa se ipak odluči da podigne ili jedan ili tri prsta. I tako u nedogled...

Da li je ovo moje razmišljanje pogrešno, i ako jeste, u čemu je greška?

A ovo definitivno ne razumem,

desideri je napisao:Rešenje ovog zadatka je da igrač [inlmath]A[/inlmath] kao i igrač [inlmath]B[/inlmath] treba da najčešće podižu dva prsta, tj. u [inlmath]50[/inlmath] posto odigravanja, a u po [inlmath]25[/inlmath] posto odigravanja da koriste ostale dve strategije.

na osnovu čega se došlo do ovog zaključka?

@Daniel,
tvoje razmišljanje je sasvim logično.
Najbitnije je ovo:

Daniel je napisao:Međutim, ovo je sve bilo, kao što sam naglasio, pod pretpostavkom da je podjednako verovatno da će igrač [inlmath]B[/inlmath] podići bilo koji broj prstiju. Ali, pošto ja ne sumnjam u inteligenciju igrača [inlmath]B[/inlmath], ja onda pretpostavljam da će igrač [inlmath]B[/inlmath] poći od toga da ću ja podići tri prsta, pa da će on zbog toga zaključiti da treba da podigne dva prsta (kako bi, je l' te, zbir podignutih prstiju bio neparan i on uzeo novce).

Baš tako!
Igrač [inlmath]A[/inlmath] razmišlja o potezima igrača [inlmath]B[/inlmath] i obrnuto. I šahovska igra je matrična igra, no za sada nema rešenje u smislu odabira optimalnih strategija. Previše je tu (zapravo neograničeno) mogućnosti, u šahovskoj igri.
Obećavam post na temu objašnjenja rezultata u igri "tri prsta" i to jako brzo, evo u ovoj temi.

Najzaslužniji što matrične igre iliti teorija igara uopšte postoje je besmrtni matematičar John Von Neumann. Jeste da je živeo do 1957. ali dobro, izvinjavam se zbog pristrasnosti.

Najjednostavniji slučaj matričnih igara nulte sume su proste matrične igre koje sadrže sedlastu tačku.

Ovim uvedoh više novih termina bez njihovog definisanja, no verovatno bih izgubio na viralnosti teme ako bih definisao pojam po pojam, suvoparno.
Najbolje da navedem primer (treći u temi(!)), i to baš pomenute igre sa sedlastom tačkom iliti tačkom ekvilibrijuma po nekim autorima:
[dispmath]\begin{bmatrix} -8 & 3 & -5\\ 3 & 4 & 0\\ 2 & -9 & -3 \end{bmatrix}[/dispmath]
Strategije igrača [inlmath]A[/inlmath] su po vrstama a strategije igrača [inlmath]B[/inlmath] su po kolonama.
John Von Neumann je prvi predložio "oprezne" primene strategija (nisam siguran da je moj prevod dobar, no navešću i izvor).
Ja pre svega želim da popularizujem ovu po meni jako interesantnu oblast matematike, pa ću se popularno i izražavati, izvinjavam se unapred.
Elem, "sigurica" za igrača [inlmath]A[/inlmath] je da odigra svoju drugu strategiju, čime ili dobija [inlmath]3[/inlmath] ili dobija [inlmath]4[/inlmath] ili dobija [inlmath]0[/inlmath] nečega. A "sigurica" za igrača [inlmath]B[/inlmath] je da odigra svoju treću strategiju, čime ili dobija [inlmath]5[/inlmath] ili dobija [inlmath]0[/inlmath] ili dobija [inlmath]3[/inlmath] nečega.
Svako razmišlja o potezima drugog igrača. Strategije im se seku tako da [inlmath]A[/inlmath] stalno odigrava svoju drugu i [inlmath]B[/inlmath] svoju treću strategiju i nikom ništa.

I možda najvažnije što sam izgleda zaboravio da napomenem:
U matričnoj igri ne odigrava se samo po jedan potez svakog od igrača, već teoretski beskonačno mnogo obostranih poteza, pri čemu neko gubi a neko dobija u svakom od poteza, tj primene strategija.

Naravno, ako neko hazardira, može i da debelo zaradi i da debelo izgubi, no to nije ono na šta sam ja mislio, a kao što svi korisnici verujem znaju, protivnik sam svakog kockanja. Nemojte se kockati - dobijate sigurno.

p.s. Naravno, ako se neko od korisnika zainteresuje, rešiću i "tri prsta" do kraja, pa čak i onaj moj primer s platama, makar mi izgoreo procesor.