MATEMANIJA

Dvije jednake šahovske ploče ([inlmath]8\times 8[/inlmath] polja) imaju zajedničko središte i jedna potpuno prekriva drugu. Jedna od njih se zarotira oko središta za [inlmath]45^\circ[/inlmath].
Odredi površinu presjeka svih crnih polja jedne ploče sa svim crnim poljima druge ploče ako je površina jednog polja jednaka [inlmath]1[/inlmath].

Deluje baš opako...

Imaš li rešenje (nemoj ga, naravno, govoriti, nego samo da li ga imaš)?

Da, jučer sam malo čita MiŠ i naša taj zadatak s jednog natjecanja 3. razreda B kategorije. Inače im se sva izdanja mogu pregledat online osim zadnje dvi godine...
Zašto da ne napišem? Doduše, s ovim rješenjem piše dobije se 19 od 20 bodova, jer nije potpuno - ne znam zašto - ne znam kako...
Ali ja sam na prvu mislija da je ovo lagano

MIŠ Originalnog li naziva

LM, ono što sam zasad uspeo, to je da nacrtam sliku.


Ono što mogu da primetim, gledajući crna polja table koja je zarotirana po [inlmath]45^\circ[/inlmath], to je da se u svakom horizontalnom redu, 1. presek crnih polja sleva i 1. presek crnih polja zdesna dopunjuju do potpunog kvadrata. Isto tako, 2. presek crnih polja sleva i 2. presek crnih polja zdesna se dopunjuju do potpunog kvadrata. I tako dalje, do sredine posmatranog reda. Znači, postoji nešto kao „obrnuta simetričnost“, da je tako nazovem, u odnosu na vertikalnu osu... Izuzetak od ovoga su preseci crnih polja koji su na krajnjim uglovima zarotirane table – oni se međusobno ne dopunjuju do potpunog kvadrata, već su „odsečeni“ ivicom nezarotirane table.

Ja ću ovde da zastanem, zasad, dok mi ne padne (ako mi uopšte i padne) još neka ideja šta i kako dalje, a možda i ova slika i ovo što sam napisao posluži kao smernica nekom drugom da dođe do rešenja.

Meni neće


U kojem si sad programu crta ova polja?

blake je napisao:U kojem si sad programu crta ova polja?

Isto Paint Shop Pro... Uz upotrebu layers-a, iliti slojeva...

Da nije, možda, rešenje [inlmath]32\left(\sqrt 2-1\right)[/inlmath]?

Ima smisla s ovim napisanim iz časopisa, s obzirom da je [inlmath]32[/inlmath] broj crnih tj. bilih polja...
Kako si ovo rješija?
:--)

Plavo obeleženi preseci na levoj strani dopunjuju se s plavo obeleženim presecima na desnoj strani do [inlmath]5[/inlmath] punih kvadrata površine [inlmath]1[/inlmath]. Ukupna površina plavih delova je [inlmath]5[/inlmath].

Isto tako, crveno obeleženi preseci na levoj strani dopunjuju se s crveno obeleženim presecima na desnoj strani do [inlmath]5[/inlmath] punih kvadrata površine [inlmath]1[/inlmath]. Ukupna površina crvenih delova je [inlmath]5[/inlmath].

Zeleno obeleženi preseci na levoj strani dopunjuju se sa zeleno obeleženim presecima na desnoj strani do [inlmath]3[/inlmath] kvadrata površine [inlmath]1[/inlmath] umanjena za [inlmath]3[/inlmath] jednakokraka pravougla trougla obeležena žuto na levoj strani, čija je visina na hipotenuzu obeležena na slici sa [inlmath]x[/inlmath].

Smeđe obeleženi preseci na gornjoj strani dopunjuju se sa smeđe obeleženim presecima na donjoj strani do [inlmath]2[/inlmath] jednakokraka pravougla trougla, čija je visina na hipotenuzu obeležena na slici sa [inlmath]y[/inlmath].

Sa slike se vidi da je kod tri žuta trougla visina na hipotenuzu jednaka [inlmath]x=\left(4\sqrt 2-4\right)-\sqrt 2[/inlmath], tj. [inlmath]x=3\sqrt 2-4[/inlmath]. Trouglovi su jednakokraki pravougli, tj. predstavljaju polovinu kvadrata, pa im je hipotenuza dva puta duža od visine na hipotenuzu, tako da je površina svakog od njih:[dispmath]P_\triangle=\frac{1}{\cancel 2}\cancel 2\left(3\sqrt 2-4\right)\cdot\left(3\sqrt 2-4\right)=\left(3\sqrt 2-4\right)^2=34-24\sqrt 2[/dispmath]Ukupna površina zelenih delova je, dakle, [inlmath]3-3\left(34-24\sqrt 2\right)=72\sqrt 2-99[/inlmath]

Takođe, sa slike se vidi da je kod dva smeđa trougla (koja formiraju smeđe obeleženi preseci na gornjoj i donjoj strani) visina na hipotenuzu jednaka [inlmath]y=\frac{3}{2}\sqrt 2-\left(4\sqrt 2-4\right)=4-\frac{5}{2}\sqrt 2[/inlmath]. I ovi trouglovi su jednakokraki pravougli, tj. predstavljaju polovinu kvadrata, pa im je hipotenuza dva puta duža od visine na hipotenuzu, tako da je površina svakog od njih:[dispmath]P_\triangle=\frac{1}{\cancel 2}\cancel 2\left(4-\frac{5}{2}\sqrt 2\right)\cdot\left(4-\frac{5}{2}\sqrt 2\right)=\left(4-\frac{5}{2}\sqrt 2\right)^2=\frac{57}{2}-20\sqrt 2[/dispmath]Ukupna površina smeđih delova je, dakle, [inlmath]2\left(\frac{57}{2}-20\sqrt 2\right)=57-40\sqrt 2[/inlmath]

Saberemo površine plavih, crvenih, zelenih i smeđih delova:[dispmath]P=5+5+72\sqrt 2-99+57-40\sqrt 2[/dispmath][dispmath]P=32\sqrt 2-32[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{P=32\left(\sqrt 2-1\right)}[/dispmath]

Ne tvrdim da ovo nije moguće rešiti i na lakši način. Lako se može izračunati površina ukupnog preseka nezarotirane i zarotirane table, ta površina iznosi [inlmath]128\left(\sqrt 2-1\right)[/inlmath] i onda je potrebno još nekako dokazati da od tog preseka četvrtina odlazi na preseke crnih polja jedne i druge table...


Sve u svemu, vrlo zanimljivo zadače, mada su mi lično ipak draže šahovske table onda kada se na njima nalaze figure i sa druge strane stola neko da ih pomera.

ides , e ovo je reci zadatak , znam sah igrat ali ovo ,,, hahahahh

U delu u kojem se dve table preklapaju imamo 4 različita tipa površina:
1. površina crnih koji se preklapaju sa crnim
2. površina belih koji se preklapaju sa belim
3. površina crnih koji se preklapaju sa belim
4. površina belih koje se preklapaju sa crnim
Treba primetiti da 3. i 4. nisu jedan te isti pojam, već se 3. odnosi na površinu crnih polja prve table koja se preklapaju sa belim poljima druge table, dok se 4. odnosi na površinu belih polja prve table koja se preklapaju sa crnim poljima druge table.
Pošto je šahovska tabla simetrična, ove 4 površine moraju biti međusobno jednake. Tako da jednostavno podeliš površinu dela šahovske table koja se preklapa sa dugom tablom na 4 i rešiš zadatak

Bravo, majstore
Ova rečenica sve rešava:

Vivi je napisao:Pošto je šahovska tabla simetrična, ove 4 površine moraju biti međusobno jednake.

Jeste, dobije se da je ukupan presek ove dve table jednak [inlmath]128\left(\sqrt 2-1\right)[/inlmath], pa kad se podeli sa [inlmath]4[/inlmath], tačno ispadne [inlmath]32\left(\sqrt 2-1\right)[/inlmath].

@blake, je l' ovo to rešenje za koje se dobije svih 20 bodova?

I guess so