MATEMANIJA

Zamislimo da učestvujete u kvizu u kome važe sledeća pravila:

Birate jedna od troja ponuđena vrata. Samo jedna od ta troja vrata donose vrednu nagradu, ali vi, naravno, ne znate koja su to vrata.
Pošto voditelju kviza saopštite svoj izbor, voditelj kviza, koji tačno zna iza kojih vrata se krije nagrada, ne otvarajući vrata koja ste izabrali, otvara jedna od preostala dvoja vrata, i to tako da ta vrata ne budu ona iza kojih se nalazi nagrada.
Pošto vam je pokazao koja od ona dvoja vrata koja niste izabrali ne donose nagradu, voditelj kviza vas pita da li ćete promeniti svoj prvobitni izbor, ili ostajete pri onim vratima koja ste već izabrali.
Da otklonim eventualnu nejasnoću – vi znate da voditelj zna iza kojih vrata je nagrada, a takođe znate i da će, posle vašeg izbora, otvoriti jedna od vrata koja ne donose nagradu.

Pitanje glasi: Da li vi treba, kako biste povećali šansu za dobijanje nagrade, da promenite izbor, da ostanete pri svom prvobitnom izboru, ili su vam u oba slučaja šanse podjednake?

Ovaj problem je relativno poznat i ima čak i svoj naziv, koji vam, zasad, neću napisati, kako ne biste googlali i youtubali.

Onako laički, ja bi reka da je fifty-fifty ili da je prednost za promjenu izbora?

I sviđa mi se ovo, već zamišljam nekog čarobnjaka i dolare i dolare i Hollywood *.* ::_D

blake je napisao:Onako laički, ja bi reka da je fifty-fifty ili da je prednost za promjenu izbora?

Eliminacija ti je u redu, znači, ostajanje pri prvobitnom izboru ne povećava šanse za nagradu. To je i bilo lako zaključiti. E sad, šta je tačno od ova dva – fifty-fifty, ili je prednost za promenu izbora?

Daniel je napisao:...E sad, šta je tačno od ova dva – fifty-fifty, ili je prednost za promenu izbora?

Ajde ti recii

blake je napisao:Ajde ti recii

Aj'mo, ljudi... Zamislite da ste učesnik u tom kvizu i da ta nagrada može da vam reši finansijske probleme za ceo život...

Ja znam odgovor, ali neću da kvarim zabavu.

Ja ću je pokvarit

Upravo taj klip sam ja nameravao d'okačim na kraju zabave, kao šlag na tortu... Partibrejkeru!

Evo i jednog malo „matematičkijeg“ pristupa Monty Hall problemu, preko Bayesove formule, koja kaže[dispmath]P\left(H_i/A\right)=\frac{P\left(H_i\right)P\left(A/H_i\right)}{P\left(A\right)}[/dispmath]gde je:

[inlmath]P\left(H_i/A\right)[/inlmath] – verovatnoća hipoteze [inlmath]H_i[/inlmath] onda kada znamo da se desio događaj [inlmath]A[/inlmath];
[inlmath]P\left(H_i\right)[/inlmath] – verovatnoća hipoteze [inlmath]H_i[/inlmath];
[inlmath]P\left(A/H_i\right)[/inlmath] – verovatnoća događaja [inlmath]A[/inlmath] pod pretpostavkom da je ostvarena hipoteza [inlmath]H_i[/inlmath];
[inlmath]P\left(A\right)[/inlmath] – verovatnoća događaja [inlmath]A[/inlmath].

Znači, nalazimo se u kvizu i odabiramo jedna od troja vrata. Ta vrata koja smo odabrali (ali još uvek ne i otvorili) označimo sa [inlmath]X[/inlmath]. Preostala dvoja vrata označimo sa [inlmath]Y[/inlmath] i [inlmath]Z[/inlmath]. Ono što znamo sasvim sigurno, to je da voditelj neće otvoriti vrata [inlmath]X[/inlmath] (jer bi to bilo suprotno pravilima kviza, budući da su to vrata koja smo odabrali), već će otvoriti ili vrata [inlmath]Y[/inlmath], ili vrata [inlmath]Z[/inlmath]. Na osnovu onih informacija kojima raspolažemo, pošto ne znamo iza kojih vrata je nagrada, postoji tačno [inlmath]50\%[/inlmath] verovatnoće da će voditelj otvoriti vrata [inlmath]Y[/inlmath] i tačno [inlmath]50\%[/inlmath] verovatnoće da će otvoriti vrata [inlmath]Z[/inlmath].

Uvedimo sledeće oznake:
[inlmath]P\left(H_X\right)[/inlmath] – verovatnoća da je nagrada iza vrata [inlmath]X[/inlmath];
[inlmath]P\left(H_Y\right)[/inlmath] – verovatnoća da je nagrada iza vrata [inlmath]Y[/inlmath];
[inlmath]P\left(H_Z\right)[/inlmath] – verovatnoća da je nagrada iza vrata [inlmath]Z[/inlmath];
[inlmath]P\left(A\right)[/inlmath] – verovatnoća da će voditelj otvoriti vrata [inlmath]Y[/inlmath].

Na osnovu onoga što znamo (znamo pravila kviza, ali ne znamo iza kojih vrata je nagrada), te verovatnoće su sledeće:[dispmath]P\left(H_X\right)=P\left(H_Y\right)=P\left(H_Z\right)=\frac{1}{3},\quad P\left(A\right)=\frac{1}{2}[/dispmath]Ako se nagrada nalazi iza vrata [inlmath]X[/inlmath] (koja smo odabrali), tada voditelj može slobodno da bira između vrata [inlmath]Y[/inlmath] i vrata [inlmath]Z[/inlmath] koja od njih će otvoriti, budući da nijedna od tih vrata ne kriju nagradu. Verovatnoća otvaranja bilo koja od ta dvoja vrata tada iznosi [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]:[dispmath]P\left(A/H_X\right)=\frac{1}{2}[/dispmath]Ako se nagrada nalazi iza vrata [inlmath]Y[/inlmath], zbog pravila kviza koja voditelju zabranjuju da otvori vrata koja donose nagradu, voditelj tada sigurno neće otvoriti vrata [inlmath]Y[/inlmath]:[dispmath]P\left(A/H_Y\right)=0[/dispmath]Ako se nagrada nalazi iza vrata [inlmath]Z[/inlmath], voditelj tada ne sme otvoriti ta vrata, a ne sme ni vrata [inlmath]X[/inlmath] (jer smo vrata [inlmath]X[/inlmath] izabrali), pa u tom slučaju može da otvori jedino vrata [inlmath]Y[/inlmath]:[dispmath]P\left(A/H_Z\right)=1[/dispmath]Sada primenimo Bayesovu formulu.

Verovatnoća da se, kada smo izabrali vrata [inlmath]X[/inlmath], a voditelj otvorio vrata [inlmath]Y[/inlmath], nagrada nalazi iza vrata [inlmath]X[/inlmath]:[dispmath]P\left(H_X/A\right)=\frac{P\left(H_X\right)P\left(A/H_X\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}[/dispmath]Verovatnoća da se, kada smo izabrali vrata [inlmath]X[/inlmath], a voditelj otvorio vrata [inlmath]Y[/inlmath], nagrada nalazi iza vrata [inlmath]Y[/inlmath]:[dispmath]P\left(H_Y/A\right)=\frac{P\left(H_Y\right)P\left(A/H_Y\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\frac{1}{3}\cdot 0}{\frac{1}{2}}=0[/dispmath](To je i očekivan rezultat, budući da se nagrada ne može nalaziti iza onih vrata koja je voditelj otvorio.)

Verovatnoća da se, kada smo izabrali vrata [inlmath]X[/inlmath], a voditelj otvorio vrata [inlmath]Y[/inlmath], nagrada nalazi iza vrata [inlmath]Z[/inlmath]:[dispmath]P\left(H_Z/A\right)=\frac{P\left(H_Z\right)P\left(A/H_Z\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\frac{1}{3}\cdot 1}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}[/dispmath]
Odavde zaključujemo da vrata koja smo izabrali donose nagradu s verovatnoćom [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath], dok vrata koja nismo izabrali, a koja voditelj nije otvorio, donose nagradu s verovatnoćom [inlmath]\frac{2}{3}[/inlmath]. Znači, pametnije je promeniti prvobitni izbor, jer se tada šansa za nagradu uvećava tačno dva puta.
A ako se na kraju ipak ispostavi da se ostvarila ona [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath] i nagrada ipak bila iza prvobitno odabranih vrata, onda

Rešenje zadatka je zaista kontraintuitivno. Ali ako se postavi sledeća verzija kviza, lakše je shvatiti zašto treba promeniti izbor:

Sva pravila su ista kao i u originalnom kvizu ali sada umesto 3, imate 100 vrata tj. 99 kozica i jednu nagradu. Kada izaberete vrata otvoriće se 98 vrata sa kozicama i jedna vrata će ostati zatvorena. Za šta bi ste se sad odlučili