MATEMANIJA

Iako prethodni zadatak sa parcijalnom integracijom još nismo rešili, postaviću sledeću u seriji ovih malih zavrzlama.
Ovom prilikom ću "pokazati" da su svi neparni brojevi uzajamno jednaki.

Skoro smo na forumu pominjali Ojelorovu formulu koja kaže da je [inlmath]e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)[/inlmath]
Za neparno [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]x=m\pi[/inlmath] dobijamo
[dispmath]e^{im\pi}=\cos{m\pi}+i\sin{m\pi}=-1+0=-1[/dispmath]
Za neparno [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]x=n\pi[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]e^{ni\pi}=\cos{n\pi}+i\sin{n\pi}=-1+0=-1[/dispmath]
Samim tim:
[dispmath]e^{mi\pi}=e^{ni\pi}[/dispmath]
Izjednačimo vrednosti u eksponentu:
[dispmath]mi\pi=ni\pi[/dispmath]
[dispmath]m=n[/dispmath]
Dakle, dobijamo da su svi neparni brojevi uzajmno jednaki.

Šta ne valja?

Umesto odgovora, ja ću malo da uopštim slučaj time što ću, vrlo sličnim postupkom, „dokazati“ da su svi prirodni brojevi – i parni i neparni – međusobno jednaki.

Neka su [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] dva prirodna broja i [inlmath]m\ne n[/inlmath]. Tada važi[dispmath]e^{i2m\pi}=\cos 2m\pi+i\sin 2m\pi=1+0=1[/dispmath][dispmath]e^{i2n\pi}=\cos 2n\pi+i\sin 2n\pi=1+0=1[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad e^{i2m\pi}=e^{i2n\pi}[/dispmath]i, posle izjednačavanja vredosti u eksponentima,[dispmath]\cancel i\cancel2m\cancel\pi=\cancel i\cancel2n\cancel\pi[/dispmath][dispmath]m=n[/dispmath]
Q.E.D.

Nisam siguran ali pretpostavljam da je greška u izjednačivanju vrednosti u eksponentima (zbog kompleksnog broja)?

Zapravo su [inlmath]e^{im\pi}[/inlmath], [inlmath]e^{in\pi}[/inlmath], [inlmath]e^{i2m\pi}[/inlmath], [inlmath]e^{i2n\pi}[/inlmath] – realni brojevi. Ali, stvar je u tome koji su to realni brojevi.

To su jedan ili minus jedan. Dokaz je ustavari nepotrebno zakomplikovan (mada u tome je i čar ).
"Lakša" verzija dokaza:
[dispmath]m\ne n\quad m,n\in\mathbb{N}[/dispmath]
[dispmath]1^m=1[/dispmath]
[dispmath]1^n=1[/dispmath]
[dispmath]1=1\quad\Rightarrow\quad m=n[/dispmath]

Šta je na kraju zaključak – pošto [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath] dignuto na bilo koji neparan stepen daje [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath], to znači da, iz podatka da smo dizanjem [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath] na neki neparan broj [inlmath]m[/inlmath] i dizanjem [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath] na drugi neparan broj [inlmath]n[/inlmath] dobili isti rezultat, tj. [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath], ne možemo zaključiti da su [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] jednaki.

Isti rezon važi i kada jedinicu dižemo na bilo koji ceo broj, pri čemu uvek kao rezultat dobijamo jedinicu – iz [inlmath]1^m=1^n[/inlmath] ne sledi da je [inlmath]m=n[/inlmath]. (To bi bilo slično kao kada bismo rekli da iz [inlmath]0\cdot m=0\cdot n[/inlmath] sledi [inlmath]m=n[/inlmath] – ono čuveno skraćivanje nule )