MATEMANIJA

Za [inlmath]|q|<1[/inlmath] vazi:
[dispmath]aq+aq^2+aq^3+\cdots =\frac{aq}{1-q}[/dispmath][dispmath]0.999\ldots=9\left(\frac{1}{10}\right)+9\left({\frac{1}{10}}\right)^2+9\left({\frac{1}{10}}\right)^3+\cdots=\frac{9\left({\frac{1}{10}}\right)}{1-{\frac{1}{10}}}=1[/dispmath]
Dobijamo da je [inlmath]0.999\ldots =1[/inlmath]

Sta ne valja?

Sećam se da je ovaj paradoks čak podelio učesnike jednog foruma na dva gotovo suprotstavljena tabora – došlo je baš do žučne rasprave i jedni su tvdili jedno, drugi drugo.
Šta su se na kraju dogovorili i jesu li se išta dogovorili, ne znam, ali evo i od mene jednog dokaza ove jednakosti.

Kao što znamo, jedna trećina se može napisati kao nula zarez pa onda beskonačno mnogo trojaka iza decimalnog zareza:
[dispmath]\frac{1}{3}=0,\underbrace{333333\dots}_{\infty\;\mathrm{trojaka}}[/dispmath]
I odatle sledi
[dispmath]0,\underbrace{999999\dots}_{\infty\;\mathrm{devetki}}=3\cdot 0,\underbrace{333333\dots}_{\infty\;\mathrm{trojaka}}=\cancel 3\cdot\frac{1}{\cancel 3}=1[/dispmath]

Evo još jedan:
[dispmath]x=0.99999\ldots =0.\overline{9}[/dispmath][dispmath]10\times x=9.999\ldots[/dispmath][dispmath]10x-x=9[/dispmath][dispmath]9x=9[/dispmath][dispmath]x=1[/dispmath][dispmath]0.999\ldots =1[/dispmath]
[inlmath]9.9999\ldots[/inlmath] dokaza na kanalu ViHart (pogledajte i ostale snimke sa ovog kanala!)

Wow! Sjajan video. Nisam ni znao da postoji toliko dokaza.

Eto, drage vukovce, koji su mislili da im je prosek [inlmath]5,00[/inlmath], moram razočarati: vaš prosek, ma koliko vam bilo teško da prihvatite surovu realnost, zapravo je [inlmath]4,9999999\ldots[/inlmath]

Daniel je napisao:Wow! Sjajan video. Nisam ni znao da postoji toliko dokaza.

Ima još: Wiki.

Daniel je napisao:Eto, drage vukovce, koji su mislili da im je prosek [inlmath]5,00[/inlmath], moram razočarati: vaš prosek, ma koliko vam bilo teško da prihvatite surovu realnost, zapravo je [inlmath]4,9999999\ldots[/inlmath]

Hah. Surova istina, ali tako je.

Ja moram da se ne slozim da je [inlmath]1-0.9999\ldots=0[/inlmath]. I ako znam bar dva dokaza da je [inlmath]0.9999\ldots=1[/inlmath] sklon sam da verujem vise da mu fali ona infinitezimalna razlika da bi bio [inlmath]1[/inlmath]. Meni [inlmath]0.9999\ldots[/inlmath] vise oznacava neki "proces". Kada se dokazuje preko beskonacnog geometrijskog reda koristi se limes.
[dispmath]\lim_{n\to\infty}a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}=\frac{a_1}{q-1}\quad(|q|<1)[/dispmath][dispmath]\frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+\cdots+\frac{9}{10^n}[/dispmath][dispmath]\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=1[/dispmath]
Ali cela sutina limesa je da nesta tezi necemu, neka delta epsilon okolina nikad nije "jeste" nego priblizno. Tako mi i ovo [inlmath]1-0.9999\ldots=0[/inlmath] jeste u okolini nule ali nije nula.

Hajde da razjasnimo šta znači limes. Limes predstavlja onu brojnu vrednost (i to tačnu brojnu vrednost, ne približnu) kojoj neki izraz teži kada neka promenljiva koja figuriše u tom izrazu teži nekoj vrednosti. Npr. [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath] je približno nula kada je [inlmath]n[/inlmath] vrlo veliko, ali [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}[/inlmath] nije približno nula, već je tačno nula.

Isto tako ni ovaj limes koji si naveo kao primer, nije približno jednak jedinici, već je tačno jednak jedinici.

---

E sad, ti tvrdiš da [inlmath]0,99999\ldots[/inlmath] nije isto što i [inlmath]1[/inlmath]. Međutim, da bi tvoja tvrdnja bila osnovana, potrebno je, ne samo da osporiš dokaze koji su ovde izneti (pri tome, ti si pokušao da osporiš samo jedan od iznetih dokaza, ne sve), već je potrebno i da pružiš svoj dokaz kojim potkrepljuješ tvrdnju da je [inlmath]0,99999\ldots<1[/inlmath].

Dakle – ako osporiš sve postojeće dokaze da je [inlmath]0,99999\ldots=1[/inlmath] (što će reći, ako u postojećim dokazima nađeš grešku), ti time tek otvaraš prostora za hipotezu da je [inlmath]0,99999\ldots<1[/inlmath]. Hipoteza – znači, još uvek nije dokazana, već si samo pretpostavio da je tako. Tek kad za to ponudiš još i dokaz, možeš reći za svoju tvrdnju da je osnovana. A kad tvoj dokaz pogledaju i drugi, i ne uspeju da u njemu nađu grešku, tek tada se za tvoju tvrdnju može reći i da je dokazana.

Taj redosled nisam ja izmislio – jednostavno, u nauci je to tako...

@Trougao,
Slažem se s Danielom u vezi s prebacivanjem posta u ovu temu.
Ova tema je ozbiljna, ona moja i nije toliko, ja sam to više zbog nekih nedoumica pokrenuo.
Po mom mišljenju, radi se samo o zapisu. Kao kada bismo broj napisali u binarnom, heksadecimalnom, ili bilo kom sistemu brojeva.
Dobro, ovo je dekadni sistem, ali kako napisati beskonačno mnogo devetki u dekadnom sistemu, to jest kako uopšte napisati beskonačno mnogo devetki, osim uz neku simboliku zapisivanja?
Tako da je isto [inlmath]0.999\ldots[/inlmath] što i broj [inlmath]1[/inlmath].
Ne vidim ja tu infinitezimalu.
No, naravno da ostaje prostora za diskusiju, bilo je po internetu, a i po knjigama, mišljenja jako sličnih tvojem mišljenju.
Mišljenja su podeljena.
Danielovo i moje je isto, nije podeljeno

Ne sporim ja da je [inlmath]0.9999\ldots=1[/inlmath]. Ali mislim da je pogresno tumaciti izraz [inlmath]1-0.9999\ldots[/inlmath] kao nulu.
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0[/dispmath]
I sta bi iz definicije limesa za niz zakljucili? Pa da se za neko [inlmath]\epsilon[/inlmath] za [inlmath]n>n_0[/inlmath] beskonacno mnogo clanova niza nalazi u okolini nule, ali nijedan u samoj nuli. Ja to prilazenje vidim kao beskonacan proces koji je nemoguce zavrsiti, mi vidimo kuda on vodi pa pisemo [inlmath]0[/inlmath].

Trougao je napisao:I sta bi iz definicije limesa za niz zakljucili? Pa da se za neko [inlmath]\epsilon[/inlmath] za [inlmath]n>n_0[/inlmath] beskonacno mnogo clanova niza nalazi u okolini nule, ali nijedan u samoj nuli.

Ovome se nema šta prigovoriti, to je jedna od interpretacija same definicije granične vrednosti.

Idemo dalje: Neka je [inlmath]A=0.9999\ldots[/inlmath]
Neka je [inlmath]B=1[/inlmath]
Slažeš li se s ovim:
[dispmath]A=B\quad\Rightarrow\quad B-A=0[/dispmath]
Da li se ovome ima šta prigovoriti?