MATEMANIJA

Za [inlmath]|q|<1[/inlmath] vazi:
[dispmath]aq+aq^2+aq^3+\cdots =\frac{aq}{1-q}[/dispmath][dispmath]0.999\ldots=9\left(\frac{1}{10}\right)+9\left({\frac{1}{10}}\right)^2+9\left({\frac{1}{10}}\right)^3+\cdots=\frac{9\left({\frac{1}{10}}\right)}{1-{\frac{1}{10}}}=1[/dispmath]
Dobijamo da je [inlmath]0.999\ldots =1[/inlmath]

Sta ne valja?

Sećam se da je ovaj paradoks čak podelio učesnike jednog foruma na dva gotovo suprotstavljena tabora – došlo je baš do žučne rasprave i jedni su tvdili jedno, drugi drugo.
Šta su se na kraju dogovorili i jesu li se išta dogovorili, ne znam, ali evo i od mene jednog dokaza ove jednakosti.

Kao što znamo, jedna trećina se može napisati kao nula zarez pa onda beskonačno mnogo trojaka iza decimalnog zareza:
[dispmath]\frac{1}{3}=0,\underbrace{333333\dots}_{\infty\;\mathrm{trojaka}}[/dispmath]
I odatle sledi
[dispmath]0,\underbrace{999999\dots}_{\infty\;\mathrm{devetki}}=3\cdot 0,\underbrace{333333\dots}_{\infty\;\mathrm{trojaka}}=\cancel 3\cdot\frac{1}{\cancel 3}=1[/dispmath]

Evo još jedan:
[dispmath]x=0.99999\ldots =0.\overline{9}[/dispmath][dispmath]10\times x=9.999\ldots[/dispmath][dispmath]10x-x=9[/dispmath][dispmath]9x=9[/dispmath][dispmath]x=1[/dispmath][dispmath]0.999\ldots =1[/dispmath]
[inlmath]9.9999\ldots[/inlmath] dokaza na kanalu ViHart (pogledajte i ostale snimke sa ovog kanala!)

Wow! Sjajan video. Nisam ni znao da postoji toliko dokaza.

Eto, drage vukovce, koji su mislili da im je prosek [inlmath]5,00[/inlmath], moram razočarati: vaš prosek, ma koliko vam bilo teško da prihvatite surovu realnost, zapravo je [inlmath]4,9999999\ldots[/inlmath]

Daniel je napisao:Wow! Sjajan video. Nisam ni znao da postoji toliko dokaza.

Ima još: Wiki.

Daniel je napisao:Eto, drage vukovce, koji su mislili da im je prosek [inlmath]5,00[/inlmath], moram razočarati: vaš prosek, ma koliko vam bilo teško da prihvatite surovu realnost, zapravo je [inlmath]4,9999999\ldots[/inlmath]

Hah. Surova istina, ali tako je.

Ja moram da se ne slozim da je [inlmath]1-0.9999\ldots=0[/inlmath]. I ako znam bar dva dokaza da je [inlmath]0.9999\ldots=1[/inlmath] sklon sam da verujem vise da mu fali ona infinitezimalna razlika da bi bio [inlmath]1[/inlmath]. Meni [inlmath]0.9999\ldots[/inlmath] vise oznacava neki "proces". Kada se dokazuje preko beskonacnog geometrijskog reda koristi se limes.
[dispmath]\lim_{n\to\infty}a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}=\frac{a_1}{q-1}\quad(|q|<1)[/dispmath][dispmath]\frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+\cdots+\frac{9}{10^n}[/dispmath][dispmath]\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=1[/dispmath]
Ali cela sutina limesa je da nesta tezi necemu, neka delta epsilon okolina nikad nije "jeste" nego priblizno. Tako mi i ovo [inlmath]1-0.9999\ldots=0[/inlmath] jeste u okolini nule ali nije nula.

Hajde da razjasnimo šta znači limes. Limes predstavlja onu brojnu vrednost (i to tačnu brojnu vrednost, ne približnu) kojoj neki izraz teži kada neka promenljiva koja figuriše u tom izrazu teži nekoj vrednosti. Npr. [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath] je približno nula kada je [inlmath]n[/inlmath] vrlo veliko, ali [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}[/inlmath] nije približno nula, već je tačno nula.

Isto tako ni ovaj limes koji si naveo kao primer, nije približno jednak jedinici, već je tačno jednak jedinici.

---

E sad, ti tvrdiš da [inlmath]0,99999\ldots[/inlmath] nije isto što i [inlmath]1[/inlmath]. Međutim, da bi tvoja tvrdnja bila osnovana, potrebno je, ne samo da osporiš dokaze koji su ovde izneti (pri tome, ti si pokušao da osporiš samo jedan od iznetih dokaza, ne sve), već je potrebno i da pružiš svoj dokaz kojim potkrepljuješ tvrdnju da je [inlmath]0,99999\ldots<1[/inlmath].

Dakle – ako osporiš sve postojeće dokaze da je [inlmath]0,99999\ldots=1[/inlmath] (što će reći, ako u postojećim dokazima nađeš grešku), ti time tek otvaraš prostora za hipotezu da je [inlmath]0,99999\ldots<1[/inlmath]. Hipoteza – znači, još uvek nije dokazana, već si samo pretpostavio da je tako. Tek kad za to ponudiš još i dokaz, možeš reći za svoju tvrdnju da je osnovana. A kad tvoj dokaz pogledaju i drugi, i ne uspeju da u njemu nađu grešku, tek tada se za tvoju tvrdnju može reći i da je dokazana.

Taj redosled nisam ja izmislio – jednostavno, u nauci je to tako...

@Trougao,
Slažem se s Danielom u vezi s prebacivanjem posta u ovu temu.
Ova tema je ozbiljna, ona moja i nije toliko, ja sam to više zbog nekih nedoumica pokrenuo.
Po mom mišljenju, radi se samo o zapisu. Kao kada bismo broj napisali u binarnom, heksadecimalnom, ili bilo kom sistemu brojeva.
Dobro, ovo je dekadni sistem, ali kako napisati beskonačno mnogo devetki u dekadnom sistemu, to jest kako uopšte napisati beskonačno mnogo devetki, osim uz neku simboliku zapisivanja?
Tako da je isto [inlmath]0.999\ldots[/inlmath] što i broj [inlmath]1[/inlmath].
Ne vidim ja tu infinitezimalu.
No, naravno da ostaje prostora za diskusiju, bilo je po internetu, a i po knjigama, mišljenja jako sličnih tvojem mišljenju.
Mišljenja su podeljena.
Danielovo i moje je isto, nije podeljeno

Ne sporim ja da je [inlmath]0.9999\ldots=1[/inlmath]. Ali mislim da je pogresno tumaciti izraz [inlmath]1-0.9999\ldots[/inlmath] kao nulu.
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0[/dispmath]
I sta bi iz definicije limesa za niz zakljucili? Pa da se za neko [inlmath]\epsilon[/inlmath] za [inlmath]n>n_0[/inlmath] beskonacno mnogo clanova niza nalazi u okolini nule, ali nijedan u samoj nuli. Ja to prilazenje vidim kao beskonacan proces koji je nemoguce zavrsiti, mi vidimo kuda on vodi pa pisemo [inlmath]0[/inlmath].

Trougao je napisao:I sta bi iz definicije limesa za niz zakljucili? Pa da se za neko [inlmath]\epsilon[/inlmath] za [inlmath]n>n_0[/inlmath] beskonacno mnogo clanova niza nalazi u okolini nule, ali nijedan u samoj nuli.

Ovome se nema šta prigovoriti, to je jedna od interpretacija same definicije granične vrednosti.

Idemo dalje: Neka je [inlmath]A=0.9999\ldots[/inlmath]
Neka je [inlmath]B=1[/inlmath]
Slažeš li se s ovim:
[dispmath]A=B\quad\Rightarrow\quad B-A=0[/dispmath]
Da li se ovome ima šta prigovoriti?

@Trougao
Da, zaista nigde nisi napisao da osporavaš da je [inlmath]0,99999\ldots=1[/inlmath]. Sorry onda zbog zabune.

Ali sam smatrao (po mom mišljenju, sasvim opravdano), da je tvrdnja [inlmath]0,99999\ldots-1\ne0[/inlmath] ekvivalentna tvrdnji [inlmath]0,99999\ldots\ne1[/inlmath]. To jest,
[dispmath]0,99999\ldots-1\ne0[/dispmath]
Dodamo keca i levoj i desnoj strani (time se istinitost iskaza ne menja),
[dispmath]0,99999\ldots-\cancel1+\cancel1\ne0+1[/dispmath]
i dobijemo
[dispmath]0,99999\ldots\ne1[/dispmath]
Prema tome, te dve tvrdnje jesu ekvivalentne (i obe neistinite).

Trougao je napisao:[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0[/dispmath]
I sta bi iz definicije limesa za niz zakljucili? Pa da se za neko [inlmath]\epsilon[/inlmath] za [inlmath]n>n_0[/inlmath] beskonacno mnogo clanova niza nalazi u okolini nule, ali nijedan u samoj nuli. Ja to prilazenje vidim kao beskonacan proces koji je nemoguce zavrsiti, mi vidimo kuda on vodi pa pisemo [inlmath]0[/inlmath].

Upravo tako. Prema tome, vrednost limesa može biti vrednost koju nema nijedan član niza. Ali, limes ima preciznu vrednost, ne neku približnu vrednost. O tome govorimo.

Pa ja mislim da je [inlmath]0.9999\ldots=1[/inlmath] za sve prakticne svrhe i vecinu teorijskih. Ne znam zasto ali meni ce uz ne znam koliko mnogo ubedjivanja i price [inlmath]0.9999\ldots[/inlmath] biti razlicito od [inlmath]1[/inlmath] predpostavljam da je to vera u nesavrsenstvo broja [inlmath]0.9999\ldots[/inlmath]

Evo i ovo mi pade na pamet:
[dispmath]1.000\ldots-0.999\ldots=?[/dispmath]
Moglo bi se reći da je rezultat, na primer, nula zarez nula pa nula pa nula... pa jedan. Ako se onako "potpiše" oduzimanje. Ali kako to zapisati? Tvrdim da je takav broj ili nezapisiv ili jednak nuli. Napisati da je rezultat [inlmath]0.000\ldots1[/inlmath] prvo mi deluje mnogo veštački, a drugo, mislim da nije u skladu ni s Dedekindovim aksiomom neprekidnosti.
I dalje mislim da je stvar samo u zapisu, ne u limesu, ali ću još razmisliti...
Napominjem da bi slično bilo i sa na primer:
[dispmath]1.000\ldots1-1.000\ldots=?[/dispmath]
U odnosu na keca imao bih i najmanji broj u skupu "desno" od keca i najveći broj u skupu "levo" od keca. I eto prekida u skupu realnih brojeva čime se tvrđenje da [inlmath]1[/inlmath] nije isto što i [inlmath]0.999\ldots[/inlmath] svodi ad absurdum (na apsurd, to jest kontradikciju).

Moram da nastavim, baš ste me zainteresovali
U prostoru sa dve dimenzije [inlmath]R^2[/inlmath] imao bih beskonačno mnogo tačaka tipa [inlmath]0.999\ldots[/inlmath] ako se zamisli polarni koordinatni sistem, sve jako bliske tački [inlmath](1,1)[/inlmath]. Preciznije, mislim na ultra malu ili, da kažem, [inlmath]\epsilon[/inlmath] okolinu te tačke u prostoru sa dve dimenzije, u ravni. Mislim na to i da popularno kažem na ultra mali radijus i ultra mali kružić oko tačke [inlmath](1,1)[/inlmath]. Ako se sve te tačke ne bi poklapale, činile bi pravu ili krivu ili čak celu ravan. A to je tek dovedeno ad absurdum. A gde da se poklope osim u posmatranoj tački?
A u prostoru [inlmath]R^3[/inlmath]?
A u prostoru [inlmath]R^n[/inlmath]?
p.s. Još mi malo nedostaje da ovaj svoj post prebacim u jedan drugi podforum, znate na koji mislim. Ispravite me ako grešim i ne zamerite na šali .

desideri je napisao:[dispmath]1.000\ldots-0.999\ldots=?[/dispmath]

Uočimo pravilnost:
[dispmath]1-0,9=0,1\\
1-0,99=0,01\\
1-0,999=0,001\\
\vdots\\
1-0,\underbrace{99\ldots9}_{k\;\mathrm{devetki}}=\underbrace{0,00\ldots0}_{k\;\mathrm{nula}}1\\
\vdots[/dispmath]
Dakle, kada od jedinice oduzmemo broj koji nakon nule i decimalnog zareza ima beskonačno mnogo devetki, tj. [inlmath]1-0,\underbrace{99\ldots9}_{\infty\;\mathrm{devetki}}[/inlmath], dobićemo broj koji ima beskonačno mnogo nula i, nakon njih, jednu jedinicu: [inlmath]\underbrace{0,00\ldots0}_{\infty\;\mathrm{nula}}1[/inlmath]. Ako nakon decimalnog zareza imamo [inlmath]\infty[/inlmath] nula (tačnije, [inlmath]\infty-1[/inlmath], ali to je takođe [inlmath]\infty[/inlmath]), ima li onda smisla govoriti o cifri koja dolazi nakon tih beskonačno mnogo nula?

Daniel je napisao:ima li onda smisla govoriti o cifri koja dolazi nakon tih beskonačno mnogo nula?

Nema smisla govoriti o takvoj cifri.
Ja sam to zapravo i hteo da pokažem, no ti si pokazao eksplicitnije.

Procitah (mada sam vise preleteo okom) sta ste sve napisali, i samo cu prvo kratko reci da se slazem da vazi spomenuta jednakost iz naslova. Ali, pokusacu i da dam neki formalni pristup svemu tome.

Naime, prvo kada govorimo o ovakvim stvarima, mi moramo definisati sta za nas predstavlja decimalni zapis (jer ako vec govorimo o njemu, moramo ga nekako i definisati). U tu svrhu, bice nam potrebna funkcija ceo deo. Naime, za (realno) [inlmath]x>0[/inlmath] definisemo ceo deo broja [inlmath]x[/inlmath] kao [inlmath][x] = \min\{n \in \mathbb{N} \mid n \cdot 1 > x\} - 1[/inlmath]. Da ovaj skup nije prazan sledi na osnovu Arhimedovog svojstva, a takodje podrazumevamo da svaki neprazan podskup skupa [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath] ima najmanji element. Naravno, definicija funkcije "ceo deo" se moze prosiriti i na negativnom delu realne ose, tj. uzimacemo za [inlmath]x \in \mathbb{R}[/inlmath] da je [inlmath][x] = \min\{n \in \mathbb{Z} \mid n \cdot 1 > x\} - 1[/inlmath]. Iz same definicije se moze pokazati da za svako [inlmath]x \in \mathbb{R}[/inlmath] vazi [inlmath][x] \le x < [x]+1[/inlmath].

Sada smo u stanju da definisemo prvu decimalu. Naime, prva decimala realnog broja [inlmath]x[/inlmath] je broj [inlmath]d_1 = [10x]-10[x][/inlmath]. Slicno, druga decimala realnog broja [inlmath]x[/inlmath] je broj [inlmath]d_2=[100x]-100[x]-10d_1[/inlmath]. I slicno za [inlmath]n[/inlmath]-tu decimalu. Tacnije, induktivno se definise [inlmath]n[/inlmath]-ta decimala realnog broja [inlmath]x[/inlmath] sa
[dispmath]d_n = [10^n x]-10^n[x]- 10^{n-1}d_1 - 10^{n-2}d_2 -\cdots - 10d_{n-1}= [10^n x]-10^n[x]- \sum_{k=1}^{n-1}d_k10^{n-k}.[/dispmath] Sada definisemo decimalni zapis realnog broja [inlmath]x[/inlmath]. Naime, oznaku [inlmath][x],d_1d_2d_3\ldots[/inlmath] nazivamo decimalni zapis realnog broja [inlmath]x[/inlmath].

Da navedemo i jos neke korisne osobine koje se mogu pokazati iz same definicije. Naime, ako su [inlmath]d_1,d_2,\ldots[/inlmath] decimale realnog broja [inlmath]x[/inlmath] tada se moze pokazati da je
1) za sve [inlmath]k \in \mathbb{N}[/inlmath] je [inlmath]d_k \in \{0,1,2,\ldots,9\}[/inlmath];

2) za svaki prirodan broj [inlmath]n[/inlmath] vazi
[dispmath][x]+\sum_{k=1}^n \frac{d_k}{10^k} \le x < [x]+\sum_{k=1}^n \frac{d_k}{10^k} + \frac{1}{10^n} \tag{1}[/dispmath] 3) ako oznacimo [inlmath]\displaystyle x_n =[x]+\sum_{k=1}^n \frac{d_k}{10^k}[/inlmath], onda je (sledi iz [inlmath](1)[/inlmath]) [dispmath]x = \sup \{x_n \mid n \in \mathbb{N}\}. \tag{2}[/dispmath]
Dakle, mi smo ovde dali definiciju kojom svakom realnom broju dodeljujemo njegov decimalni zapis. Stavise, to preslikavanje je injektivno ([inlmath]1-1[/inlmath]), sto se moze videti iz osobine 3) koju smo upravo naveli. Naime, ako bi dva realna broja [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] imala isti decimalni zapis, onda bi se skupovi [inlmath]\{x_n\}[/inlmath] i [inlmath]\{y_n\}[/inlmath] poklapali, pa bi prema [inlmath](2)[/inlmath] imali isti supremem, odnosno, vazilo bi [inlmath]x=y[/inlmath]. To nam daje spomenutu injektivnost pridruzivanja: realni broj [inlmath]\to[/inlmath] decimalni zapis.

Ali, sa druge strane mi sa [inlmath](2)[/inlmath] mozemo svakom decimalnom zapisu dodeliti realan broj. Medjutim, to dodeljivanje nije vise injektivno. Primer da je tako je upravo primer iz naslova, jer bi se onda decimalnim zapisima [inlmath]1,000\ldots[/inlmath] i [inlmath]0,999\ldots[/inlmath] dodelio isti realan broj [inlmath]1[/inlmath]. Zato vidimo da je skup decimalnih zapisa nesto siri, veci, od skupa realnih brojeva. Koliko je to veci skup se moze i efektivno videti, naime vazi sledece: ako decimalnim brojevima [inlmath]n,d_1d_2d_3\ldots[/inlmath] i [inlmath]m,c_1c_2c_3\ldots[/inlmath] odgovaraju isti realni brojevi (pridruzivanjem koje smo vec spomenuli) tada vazi jedna od sledece tri mogucnosti
1) [inlmath]m=n[/inlmath] i [inlmath]d_j=c_j[/inlmath] za sve [inlmath]j[/inlmath];
2) [inlmath]m=n[/inlmath] i [inlmath]d_j=c_j[/inlmath] za [inlmath]j=1,2,\ldots,k-1[/inlmath] i [inlmath]\color{red} d_k - 1=c_k[/inlmath] i [inlmath]d_j=0, c_j=9[/inlmath] za sve [inlmath]j>k[/inlmath];
3) [inlmath]n=m+1[/inlmath] i [inlmath]d_j=0, c_j=9[/inlmath] za sve [inlmath]j \in \mathbb{N}[/inlmath].

Nadam se da su posle ovoga neke stvari bar malo jasnije.

Onomatopeja je napisao:Nadam se da su posle ovoga neke stvari bar malo jasnije.

Biće jasnije...
Nešto kasnije!
Tek sad si me bacio u razmišljanje, moram ovo tvoje da proučim.

Pre svega, svaka čast za ovako detaljnu analizu. Kad je meni trebalo vremena da ovo sve iščitam i razumem, mogu misliti koliko je tek trebalo vremena sve ovo i napisati.

Imam samo dve nejasnoće. Prvo,

Onomatopeja je napisao:Naime, za (realno) [inlmath]x>0[/inlmath] definisemo ceo deo broja [inlmath]x[/inlmath] kao [inlmath][x] = \min\{n \in \mathbb{N} \mid n \cdot 1 > x\} - 1[/inlmath].

Kako bismo mogli, iz ovakve definicije celog dela broja, da opravdamo zapis broja [inlmath]1[/inlmath] kao [inlmath]0,999\ldots[/inlmath], kod kojeg je ceo deo nula?

I drugo,

Onomatopeja je napisao:ako decimalnim brojevima [inlmath]n,d_1d_2d_3\ldots[/inlmath] i [inlmath]m,c_1c_2c_3\ldots[/inlmath] odgovaraju isti realni brojevi (pridruzivanjem koje smo vec spomenuli) tada vazi jedna od sledece tri mogucnosti
1) [inlmath]m=n[/inlmath] i [inlmath]d_j=c_j[/inlmath] za sve [inlmath]j[/inlmath];
2) [inlmath]m=n[/inlmath] i [inlmath]d_j=c_j[/inlmath] za [inlmath]j=1,2,\ldots,k-1[/inlmath] i [inlmath]\color{red}d_k+1=c_k[/inlmath] i [inlmath]d_j=0, c_j=9[/inlmath] za sve [inlmath]j>k[/inlmath];
3) [inlmath]n=m+1[/inlmath] i [inlmath]d_j=0, c_j=9[/inlmath] za sve [inlmath]j \in \mathbb{N}[/inlmath].

Ako se ne varam, crveno obeleženi deo bi trebalo da glasi ili [inlmath]d_k-1=c_k[/inlmath], ili [inlmath]d_k=c_k+1[/inlmath]?

Daniel je napisao:

Onomatopeja je napisao:Naime, za (realno) [inlmath]x>0[/inlmath] definisemo ceo deo broja [inlmath]x[/inlmath] kao [inlmath][x] = \min\{n \in \mathbb{N} \mid n \cdot 1 > x\} - 1[/inlmath].

Kako bismo mogli, iz ovakve definicije celog dela broja, da opravdamo zapis broja [inlmath]1[/inlmath] kao [inlmath]0,999\ldots[/inlmath], kod kojeg je ceo deo nula?

O tome sam pricao u onom delu pod 3). Tacnije, o prici kako formiramo preslikavanje koje decimalnom zapisu dodeljuje realan broj. Kod zapisa [inlmath]0,999\ldots[/inlmath] mi bismo imali: [inlmath]\displaystyle x_1 = [0,999\ldots] + \frac{d_1}{10} = 0 + \frac{9}{10}=\frac{9}{10}[/inlmath], [inlmath]\displaystyle x_2 = [0,999\ldots] + \frac{d_1}{10} + \frac{d_2}{100} = \frac{9}{10} + \frac{9}{100}=\frac{99}{100}[/inlmath] i slicno
[dispmath]x_n = [0,999\ldots] + \sum_{k=1}^n \frac{d_k}{10^k} = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \cdots + \frac{9}{10^n}=\frac{\overbrace{99\ldots9}^n}{100}.[/dispmath]Kako je [inlmath]\sup\{x_n \mid n \in \mathbb{N}\} = 1[/inlmath], to decimalnom zapisu [inlmath]0,999\ldots[/inlmath] dodeljujemo realan broj [inlmath]1[/inlmath].

Za ovo drugo (oko greske): da, zaista, moj previd. Promenio sam to u samom tekstu (i oznacio).