MATEMANIJA

Evo jedne matematičke zagonetke za vas.
[dispmath]-1=-1[/dispmath][dispmath]\frac{1}{-1}=-1[/dispmath]
Korenujemo obe strane:
[dispmath]\frac{1}{\sqrt{-1}}=\sqrt{-1}[/dispmath]
Pošto je [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] odatle dobijamo:
[dispmath]\frac{1}{i}=i[/dispmath][dispmath]1=i^2[/dispmath][dispmath]1=-1[/dispmath]
I dobili smo jedan besmislen rezultat... Pokušajte da nađete grešku (ili greške, ako ih je više).

[dispmath]\frac{1}{-1}=-1[/dispmath]
Ako ovo idemo korjenovat s obe strane imamo [inlmath]\sqrt{-1}=\sqrt{-1}[/inlmath]
Jer ne možemo korjenovat s jedne strane nazivnik, a s druge brrojnik i reći da je isto?
Trebamo cijelu vrijednost razlomka korjenovat ?



edit: nemam pojma.

Jer ne možemo korjenovat s jedne strane nazivnik, a s druge brrojnik i reći da je isto?

Bravo za pokušaj! Da, to je jedna od grešaka. (bar ako sam te dobro razumeo)

Na skupu kompleksnih brojeva ne važi jednakost [inlmath]\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}[/inlmath]

No, imamo još jednu grešku u ovom postupku.

Ja vidim dve...

Milovan je napisao:Bravo za pokušaj! Da, to je jedna od grešaka. (bar ako sam te dobro razumeo)

Na skupu kompleksnih brojeva ne važi jednakost [inlmath]\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}[/inlmath]

Da, na to sam mislija, jer radi te greške slijedi opet greška [inlmath]\frac{1}{i}=i[/inlmath]
Za više matematičko objašnjene iskorištavam joker zovi: Daniel

Nisam ti ja Mirko Miočić...

OK, budući da već duže vreme nije bilo odgovora na ovaj zadatak, izneo bih i ja svoje razmišljanje. Nije sasvim tačna ni tvrdna da je [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] i to je česta greška koja se pravi, jer većina profesora, nažalost, pogrešno učenicima u školi definiše [inlmath]i[/inlmath]. Naime, broj [inlmath]i[/inlmath] se ne definiše kao [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath], već se definiše kao [inlmath]i^2=-1[/inlmath]. Iz te definicije sledi da [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath] može imati dve vrednosti: [inlmath]\sqrt{-1}=i[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{-1}=-i[/inlmath].

Osim toga, pošto korenovanje u kompleksnom domenu može dati više rešenja (za razliku od korenovanja u realnom domenu koje, po definiciji, daje samo jedno, pozitivno, rešenje), a pošto se ovde radi o kompleksnom domenu, rezultat operacije [inlmath]\sqrt 1[/inlmath] ne bi bio samo [inlmath]1[/inlmath], već bi rezultati bili [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath]:
[dispmath]\sqrt 1=\sqrt{e^{i\left(0+2k\pi\right)}}=e^{i\frac{0+2k\pi}{2}}=e^{ik\pi}=\pm 1[/dispmath]
Zbog toga, ako bismo i pretpostavili da i u kompleksnom domenu važi [inlmath]\sqrt{\frac{z_1}{z_2}}=\frac{\sqrt{z_1}}{\sqrt{z_2}}[/inlmath], prilikom korenovanja izraza [inlmath]\frac{1}{-1}[/inlmath] morali bismo korenovati i jedinicu u brojiocu (i za nju dobili [inlmath]\pm1[/inlmath]), a ne samo korenovati imenilac.

A što se tiče pomenute jednakosti [inlmath]\sqrt{\frac{z_1}{z_2}}=\frac{\sqrt{z_1}}{\sqrt{z_2}}[/inlmath] koja ne važi u kompleksnom domenu, koliko sam ja dosad uspeo da primetim, ona ne važi samo zato što se i s leve i s desne strane dobija neki skup vrednosti (budući da korenovanje u kompleksnom domenu daje skup rešenja), a relacija jednakosti je definisana samo između pojedinačnih brojeva. Ali, kod ove jednakosti, skup vrednosti s leve strane i skup vrednosti s desne strane uvek imaju iste elemente. Dokaz za ovu tvrdnju bi izgledao ovako:
[dispmath]\sqrt{\frac{z_1}{z_2}}=\sqrt{\frac{\rho_1 e^{i\varphi_1}}{\rho_2 e^{i\varphi_2}}}=\sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}\cdot\sqrt{\frac{e^{i\varphi_1}}{e^{i\varphi_2}}}=\sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}\cdot\sqrt{e^{i\left(\varphi_1-\varphi_2\right)}}=[/dispmath][dispmath]=\sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}\cdot e^{i\frac{\varphi_1-\varphi_2}{2}}=\sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}\cdot\frac{e^{i\frac{\varphi_1}{2}}}{e^{i\frac{\varphi_2}{2}}}=\frac{\sqrt{\rho_1}}{\sqrt{\rho_2}}\cdot\frac{\sqrt{e^{i\varphi_1}}}{\sqrt{e^{i\varphi_2}}}=\frac{\sqrt{\rho_1 e^{i\varphi_1}}}{\sqrt{\rho_2 e^{i\varphi_2}}}=\frac{\sqrt{z_1}}{\sqrt{z_2}}[/dispmath]
Zapravo, svaki znak jednakosti unutar ovog postupka morali bismo posmatrati kao relaciju jednakosti između skupova vrednosti, a ne između pojedničanih vrednosti, budući da u svakom koraku figuriše bar jedna operacija korenovanja, koja kao rezultat daje više od jedne vrednosti.

a i ovdje covjek svasta nauci , e vidis ovaj je poucan thanks