MATEMANIJA

Dobar dan. Moj problem je sledeci: Čitajući dokaze iz knjige za četvrti razred gimnazije shvatio sam da nemam pojma kako da ih ponovim i zapamtim. Zapravo nije problem samo sa četvrtim razredom nego i sa svim ostalim razredima. Dokaze formula tipa sinusna, kosinusna teorema, površina lopte itd. kapiram jako brzo. Ali na primer one tipa kad je prvi izvod nula tada funkcija ima ekstremnu vrednost i kada je drugi izvod pozitivan tada je funkcija konveksna na gore ili one sa graničnim vrednostima, njih uopšte ne kapiram. Meni su oni geometrijski jasni (bar za prvi izvod ) ali formalni dokaz ne razumem. To me sve brine i izjeda me sumnja da nisam za matematiku dovoljno dobar da bih je studirao. Strah me je da upisem matematiku i da na kraju završim bubajući sa šesticama. Za celo četvorogodišnje gimnazijsko skolovanje, sve kad se sabere nisam 3 sata utrošio na učenje teksta (likovno, muzičko, biologija, geografija, istorija...) ne računam vreme koje sam proveo radeći zadatke iz matematike ili fizike, a prolazio sam oko 4.00, sad sam prošao 4.5. Imam gigantsku odbojnost prema čitanju tona teksta i učenju napamet. Da sumiram u 2 pitanja.
1. Voleo bih da vidim formalni dokaz lepo objašenjen za ekstemnu vrednost funkcije kada je prvi izvod jednak nuli.
2. Treba li uopšte da ramišljam da upišem matematiku (koju neizmerno volim)?

pokusaj to povezati sa primjerom iz fizike gdje imas funkciju brzine i njen izvod koji predstavlja ubrzanje

izvod shvati kao neku funkcuju koja predstavlja promjene prvobitne funkcije, na primjer izvod te funkcije ubrzanja je II njutnov zakon...

Pogledaj Khan akademiju, tu ima dosta teorije koja je slikovito objašnjena. Samo traži Differential calculus.

Trougao je napisao:2. Treba li uopšte da ramišljam da upišem matematiku (koju neizmerno volim)?

Moj odgovor je vrlo jednostavan: svako treba da radi ono što voli, ako je u mogućnosti da radi ono što voli i ako je to što voli pozitivno. Matematika je najpozitivnija od svega što mi je poznato jer počiva na jasno definisanim pravilima "igre" (premisama, aksiomama, postulatima, definicijama itd). Onda sve iz toga dalje ide gvozdenom matematičkom logikom i tu nikakve prevare i ničega lažnog nema. Mislim na teoreme i njihove dokaze, kao i na postupke i izrade zadataka.

Matematika je najpoštenija nauka na ovom svetu.

Evo i kontraprimera, da ne ispadne kako samo hvalim matematiku. Recimo, davno je rečeno da postoje kao stepeni gradacije laž, krupna laž i statistika. A pošto ti ovo kaže statističar, treba verovati na reč . No statistika je deo teorije verovatnoće koja je deo matematike. Dakle nije ni matematika savršena .

Po mom mišljenju, treba da razmišljaš da upišeš matematiku. A za dokaze ne brini, najbitnije da ti je jasno od čega se polazi, da ti je na primer jasna definicija prvog izvoda i definicija granične vrednosti. Dalje je sve logično. Ne gvozdeno, ne čelično, već titanijumski logično.

Završiću post citiranjem genija (Immanuel Kant, prvi kategorički imperativ):
Radi svagda tako da možeš poželeti da princip tvog delovanja vredi uvek kao opšti zakon.

U potunosti se slažem sa desiderijem, ali bih dopisao još par stvari:

Trougao je napisao:1. Voleo bih da vidim formalni dokaz lepo objašenjen za ekstemnu vrednost funkcije kada je prvi izvod jednak nuli.

Zapravo ovo nije (uvek) tačno. Ovako napisana rečenica kada se pročita, dalo bi se zaključiti da ako funkcija ima nulti izvod u nekoj tački iz toga sledi da će u toj tački imati i ekstremnu vrednost. Sigurno znaš za postojanje tačke prevoja (infleksije), i jasno ti je zašto gornja tvrdnja nije tačna (možda se samo ti nisi dobro izjasnio ili ja nisam dobro razumeo tvoje pitanje). Kako god bilo, sledeće tvrđenje, poznato kao Fermaova teorema o stacionarnim tačkama, jeste tačno:



Dokaz: Pretpostavimo da je [inlmath]x_0[/inlmath] lokalni maksimum (slično se dokazuje i za minimum). Tada postoji [inlmath]\delta>0[/inlmath] takvo da se [inlmath](x_0-\delta,\;x_0+\delta)[/inlmath] uvek nalazi unutar intervala [inlmath](a,b)[/inlmath], i takvo da [inlmath]f(x_0)\ge f(x)[/inlmath] važi za svako [inlmath]|x-x_0|<\delta[/inlmath]. Za svako [inlmath]0<h<\delta[/inlmath] važi [inlmath]f(x_0)\ge f(x+h)[/inlmath] (pošto funkcija u [inlmath]f(x_0)[/inlmath] ima lokalni maksimum), iz čega sledi [inlmath]f(x+h)-f(x_0)\le0[/inlmath]. Dalje sledi:
[dispmath]\frac{f(x+h)-f(x_0)}{h}\le0[/dispmath]
Limes izraza s leve strane nejednakosti kako se [inlmath]h[/inlmath] približava [inlmath]0^+[/inlmath] zapravo je [inlmath]f'(x_0)[/inlmath], pa sledi da je [inlmath]f'(x_0)\le0[/inlmath].
Isto tako za svako [inlmath]-\delta<h<0[/inlmath] važi:
[dispmath]\frac{f(x+h)-f(x_0)}{h}\ge0[/dispmath]
i zaključujemo da je limes izraza sa leve strane nejednakosti [inlmath]f'(x_0)[/inlmath] kako se [inlmath]h[/inlmath] približava [inlmath]0^-[/inlmath], iz čega sledi [inlmath]f'(x_0)\ge0[/inlmath].
Iz ovoga možemo zaključiti da je [inlmath]f'(x_0)=0[/inlmath]

Teorema se takođe može potvrditi potvrđivanjem svoje kontrapozicije (modus tollens):



Dokaz: Pretpostavimo da funkcija [inlmath]f[/inlmath] ima izvod [inlmath]k>0[/inlmath] u tački [inlmath]x_0[/inlmath] (dokaz je sličan i za [inlmath]k<0[/inlmath]). Iz definicije limesa:
[dispmath]\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=k[/dispmath]
možemo zaključiti da za dovoljno malo [inlmath]h[/inlmath] važi:
[dispmath]\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}>\frac{k}{2}[/dispmath]
Kada je [inlmath]h>0[/inlmath] važi [inlmath]f(x_0+h)>f(x_0)+(k/2)h>f(x_0)[/inlmath], dok za [inlmath]h<0[/inlmath] važi [inlmath]f(x_0+h)<f(x_0)+(k/2)h<f(x_0)[/inlmath]. Iz nejednakosti vidimo da funkcija uzima veću vrednost od [inlmath]f(x_0)[/inlmath] desno od [inlmath]x_0[/inlmath], i manju vrednost od [inlmath]f(x_0)[/inlmath] levo od [inlmath]x_0[/inlmath]. Dakle, [inlmath]f(x_0)[/inlmath] nije extrem funkcije.

Trougao je napisao:2. Treba li uopšte da ramišljam da upišem matematiku (koju neizmerno volim)?

Naravno da treba. Nemoj biti u zabludi da matematički faks (ili bilo koji drugi) možeš završiti bez učenja. Pre ili kasnije, na svakom ozbiljnom fakultetu naići ćeš na neku materiju koju nećeš moći lako da "sažvaćeš". I to je sasvim OK. Ionako mozak zaboravlja stvari kojih se ne podseća (to je fiziološki proces), čak i ako ih u potpunosti razume. Uvek se možeš vratiti na nešto kasnije ako ti bude zatrebalo. Ako imaš barem prosečnu inteligenciju, uz trud ćeš moći da uspešno završiš faks. A trud će doći samo ako nešto voliš.
Što se tiče dokaza, ko što rekoh, mozak zaboravlja. Što budeš više propozicija dokazao to ćeš više zapamtiti.

ubavic je napisao:

Trougao je napisao:1. Voleo bih da vidim formalni dokaz lepo objašenjen za ekstemnu vrednost funkcije kada je prvi izvod jednak nuli.

Zapravo ovo nije (uvek) tačno. Ovako napisana rečenica kada se pročita, dalo bi se zaključiti da ako funkcija ima nulti izvod u nekoj tački iz toga sledi da će u toj tački imati i ekstremnu vrednost. Sigurno znaš za postojanje tačke prevoja (infleksije), i jasno ti je zašto gornja tvrdnja nije tačna (možda se samo ti nisi dobro izjasnio ili ja nisam dobro razumeo tvoje pitanje)

Upravo tako. Drugim rečima – važi implikacija da, ako je funkcija u nekoj tački diferencijabilna i u njoj ima lokalni ekstrem, tada je prvi izvod funkcije u toj tački jednak nuli. Međutim, obrnuta implikacija ne važi – ako je prvi izvod u nekoj tački jednak nuli, to ne mora nužno biti ekstremna vrednost. Može biti ekstremna vrednost, može biti prevojna tačka, ali može biti i tačka koja pripada intervalu na kojem funkcija ima konstantu vrednost. Npr. funkcija [inlmath]f\left(x\right)=c=\mathrm{const}[/inlmath] u svakoj svojoj tački ima izvod nula, tj. izvod konstante je nula.

Što se tiče upisivanja matematike, pošto kažeš da je voliš (a to je najvažnije), mogu samo da se složim s prethodnicima da treba da je upišeš.

@ubavic moram ti se specijalno zahvaliti na rasvetljavanju misterije. Izvinjavam se na nepreciznosti, dobar primer za to je funkcija [inlmath]f(x)=x^3[/inlmath] koja ima prvi izvod jednak nuli za [inlmath]x=0[/inlmath] ali to nije maksimum ni minimum. Zahvaljujem na idejama i savetima.