MATEMANIJA

Pre tačno 40 godina budimpeštanski profesor arhitekture i dizajna Erne Rubik izmislio je čuvenu mađarsku kocku, često nazivanu i Rubikova kocka. Ipak, tek 1980. i 1981. je „zarazila“ svet, kada je preplavila tržište, nakon čega su krenula i takmičenja u brzini slaganja kocke, a tragalo se i za što boljim algoritmima za slaganje (jedan od njih je ponudio i legendarni Dejan Ristanović). Pored toga što je za kratko vreme stekla ogromnu popularnost, ova kocka je veoma interesantna i matematičarima, koji su u njoj prepoznali pravi jedan mali matematički svet.

Matematika mađarske kocke bi se mogla objasniti primenom teorije grupa, a moguće ju je dovesti čak i u vezu sa strukturom materije, budući da, po nekim svojim osobinama, podseća na svet elementarnih čestica, zbog toga što neke promene u odnosu na već složenu kocku nisu moguće kao pojedinačne, npr. promena orijentacije samo jedne ivične kockice ili rotiranje za trećinu kruga samo jedne ugaone kockice, već, ako se promeni orijentacija jednoj ivičnoj kockici, tada se obavezno mora promeniti orijentacija i još jednoj ivičnoj kockici, ili, ako se jedna ugaona kockica rotira za trećinu kruga u jednom smeru, tada se ili mora jedna druga ugaona kockica rotirati za trećinu kruga u suprotnom smeru, ili se moraju još dve ugaone kockice rotirati za trećinu kruga u istom smeru kao i ona prva. Takođe, nije moguće da samo dve ivične kockice međusobno zamene mesta, kao što nije moguće ni da samo dve ugaone kockice međusobno zamene mesta, a da se, pri tome, ne poremeti ostatak kocke, ali je, zato, moguće da se ta dva slučaja dese zajedno – da dve ivične kockice međusobno zamene mesta i da, istovremeno, i dve ugaone kockice međusobno zamene mesta.

Broj mogućih rasporeda kocke je fascinantan. Do njega možemo doći ako centralne kockice fiksiramo, a pronalazimo načine na koji se mogu rasporediti ostale kockice. Ivičnih kockica ima [inlmath]12[/inlmath], pa bi se one, da nisu međusobno strukturalno povezane, mogle rasporediti na [inlmath]12![/inlmath] načina (broj permutacija od [inlmath]12[/inlmath] elemenata). Ugaonih kockica ima ukupno [inlmath]8[/inlmath], pa bi se one, da nisu međusobno strukturalno povezane, mogle rasporediti na [inlmath]8![/inlmath] načina. Međutim, pošto, zbog strukturalne povezanosti, kao što napisah u prethodnom pasusu, nije moguće da samo dve ivične ili samo dve ugaone kockice međusobno zamene mesta, proizvod ovih permutacija treba podeliti sa [inlmath]2[/inlmath], čime dobijamo [inlmath]\frac{12!\cdot 8!}{2}[/inlmath]. Ali, ni to nije sve. Moramo uzeti u obzir i orijentacije ovih kockica. Svaka od [inlmath]12[/inlmath] ivičnih kockica se može orijentisati na [inlmath]2[/inlmath] načina, pa je broj načina na koji se sve ivične kockice mogu različito orijentisati, pri čemu imamo na umu da je orijentacija poslednje određena orijentacijom onih perthodnih, jednaka [inlmath]2^{12-1}[/inlmath], tj. [inlmath]2^{11}[/inlmath]. Analogno i za ugaone kockice – svaka od [inlmath]8[/inlmath] ugaonih kockica se može orijentisati na [inlmath]3[/inlmath] načina, pa je broj načina na koji se sve ugaone kockice mogu različito orijentisati, pri čemu imamo na umu da je orijentacija poslednje određena orijentacijom onih prethodnih, jednaka [inlmath]3^{8-1}[/inlmath], tj. [inlmath]3^7[/inlmath].
I, kad sve to pomnožimo, dobijamo neverovatnu brojku,
[dispmath]\frac{12!\cdot 8!}{2}\cdot 2^{11}\cdot 3^7=43.252.003.274.489.856.000[/dispmath] Što bi Đole rekô, „pa to sam probô sas digitronom da izbrojim kol'ko ima, pa mi iskočio osigurač“...

Naravno, ceo ovaj račun se odnosi na standardnu kocku, kod koje nije bitna orijentacija centralnih kockica. Ali, ima na tržištu (bar ih je ranije bilo) i takvih kocaka kod koje su sve kockice, računajući i centralne, obeležene strelicama, pa je kod nje cilj, ne samo pravilno postaviti i orijentisati ivične i ugaone kockice, već i orijentisati centralne, što broj mogućih stanja kocke čini još većim od malopre napisanog... O kockama [inlmath]4\times 4\times 4[/inlmath] i [inlmath]5\times 5\times 5[/inlmath], kojih takođe ima na tržištu, da i ne govorim...

Google je danas, u čast četrdesete godišnjice postojanja mađarske kocke, na svom pretraživaču met'o interaktivni sadržaj na kojem je moguće, pokretima mišem, slagati kocku. Ja pokušah, i mogu reći da uopšte nije jednostavno snaći se kad je čovek naviknut na onu real-kocku. Nekih delova algoritma nisam mogao da se setim dok prethodno nisam uzeo u ruke pravu kocku (na koju su prsti naviknuti), pa sam tako „skidao“ raspored rotacija i primenjivao ih na ovom interaktivnom sadržaju.

Evo mog best-scora:

Milovan je napisao:Moguća prečica za rešavanje problema sa kockom je da se ista razloži na male kockice i onda sastavi iznova do celovite kockice sa pravilno raspoređenim bojama sa svih strana.

Ja sam čuo da su neki svojevremeno čak odlepljivali nalepnice pa ih onda lepili tako da kocka bude složena. Inače, ako kocku rasklopiš fizički, pa je posle sklopiš ne u složeno već u neko random stanje, postoji dobra šansa da tako sklopljena kocka neće moći da se složi. Tj. da ćeš pri slaganju naići na neku od onih mogućnosti koja je nemoguća kod pravilno sklopljene kocke (samo jedna ivična kockica orijentisana kontra, ili samo jedna ugaona kockica rotirana za trećinu kruga itd.) Eto, npr. uzmeš kocku, rasklopiš je (fizički) i sklopiš upravo tako da cela bude složena, osim samo jedne ugaone kockice što će biti okrenuta za trećinu... I takvu kocku nikakvim mogućim algoritmom nećeš moći da složiš, bez ponovnog rasklapanja i sklapanja...

Sećam se kako su u školi mnogi pokušavali da slože kocku na sasvim pogrešan način – slažući stranu po stranu, umesto sloj po sloj. Najjači mi je bio lik koji se hvalio kako je uspeo da složi pet strana, ali mu je kod šeste nastao problem.

Milovan je napisao:Neki ljudi su svoje umeće sa ovom kockom doveli do neverovatnog savršenstva- i mogu da je sklope za neverovatno kratko vreme, za svega nekoliko sekundi... Svetski rekord je oko 5s.

Naravno, oni kocku ne slažu po ovim standardnim algoritmima, tj. po slojevima (sukcesivni algoritam), jer bi onda bilo teoretski nemoguće složiti je za tako kratko vreme. Umesto toga, koriste simultani algoritam, koji je optimizovan za konkretnu situaciju na kocki. Treba napomenuti da pre nego što im krene merenje vremena, imaju pravo da dobro osmotre kocku, analiziraju situaciju i u glavi osmisle optimalan algoritam kojim zatim kocku slože u nekoliko poteza. Merenje vremena im kreće od onog trenutka kad naprave prvi potez na kocki. U svakom slučaju, zadivljujuće.


Ove kocke [inlmath]5\times 5\times 5[/inlmath], koje (koliko sam skontao) dobijaju kao nagradu, zaista izgledaju zastrašujuće.