Znači, govorimo o linkovanom zadatku. Nakon sređivanja i uočavanja da je imenilac uvek pozitivan, dobije se [inlmath](m+1)x^2+(4-6m)x+m+1>0[/inlmath]. I traži se da ta nejednakost bude tačna za sve realne vrednosti [inlmath]x[/inlmath].
To, drugim rečima, znači da ceo grafik ove kvadratne funkcije na levoj strani nejednakosti mora biti iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose. Nijedan njegov deo ne sme biti na [inlmath]x[/inlmath]-osi (jer bi to značilo da postoji [inlmath]x[/inlmath] za koje je taj izraz jednak nuli), i ne sme biti ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose (jer bi to značilo da postoji [inlmath]x[/inlmath] za koje je taj izraz negativan).
Ako je koeficijent uz kvadratni član negativan, onda ovo sigurno ne možemo postići, jer će u svakom slučaju biti delova grafika koji su ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose:
- diskriminanta, a negativno.png (1.36 KiB) Pogledano 1771 puta
Prema tome, očigledno je da ne sme biti [inlmath]a<0[/inlmath], bez obzira na znak diskriminante. Međutim, za [inlmath]a>0[/inlmath] imamo mogućnost da ceo grafik „postavimo“ iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose:
- diskriminanta, a pozitivno.png (1.37 KiB) Pogledano 1771 puta
Za [inlmath]D>0[/inlmath] (naravno, diskriminanta je po [inlmath]x[/inlmath] i glasi [inlmath]D=(4-6m)^2-4(m+1)(m+1)[/inlmath]) nismo ostvarili to što smo hteli, jer ćemo za [inlmath]x\in(x_1,x_2)[/inlmath] imati deo grafika koji je ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose (i za [inlmath]x\in\{x_1,x_2\}[/inlmath] imaćemo i deo grafika na samoj [inlmath]x[/inlmath]-osi).
Za [inlmath]D=0[/inlmath] imaćemo tačku dodira grafika s [inlmath]x[/inlmath]-osom, u toj tački vrednost izraza je jednaka nuli, i opet nismo dobili to što smo tražili da izraz bude pozitivan za svako [inlmath]x[/inlmath].
Međutim, za [inlmath]D<0[/inlmath] nemamo zajedničke tačke grafika i [inlmath]x[/inlmath]-ose, i ceo grafik je iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose, što je upravo ono što smo i želeli. Tada je izraz uvek pozitivan, nezavisno od vrednosti [inlmath]x[/inlmath]. Naravno, za [inlmath]a>0[/inlmath].
Zbog toga, kad se traži da kvadratni trinom bude strogo pozitivan za svako realno [inlmath]x[/inlmath], uslov je [inlmath]D<0[/inlmath], [inlmath]a>0[/inlmath] (treći slučaj na donjoj slici).
Da se tražilo da kvadratni trinom bude [inlmath]\ge0[/inlmath] za svako realno [inlmath]x[/inlmath], uslov bi bio [inlmath]D\le0[/inlmath], [inlmath]a>0[/inlmath] (što odgovara drugom i trećem slučaju na donjoj slici).
Da se tražilo da kvadratni trinom bude strogo negativan za svako realno [inlmath]x[/inlmath], uslov bi bio [inlmath]D<0[/inlmath], [inlmath]a<0[/inlmath] (što odgovara trećem slučaju na gornjoj slici).
Naravno, još jednom da napomenem, diskriminanta je po [inlmath]x[/inlmath] (ne po [inlmath]m[/inlmath]) i glasi [inlmath]D=(4-6m)^2-4(m+1)(m+1)[/inlmath]. E sad postavljamo uslove da je [inlmath]a>0[/inlmath] (tj. [inlmath]m+1>0[/inlmath]) i [inlmath]D<0[/inlmath]. Znači, [inlmath](4-6m)^2-4(m+1)(m+1)<0[/inlmath], sređivanjem dolazimo do [inlmath]8m^2-14m+3<0[/inlmath] i sad imamo novu kvadratnu jednačinu, ali ovog puta po [inlmath]m[/inlmath], koju treba rešiti. E sad za nju imamo drugu diskriminantu, i to će sad biti diskriminanta po [inlmath]m[/inlmath]: [inlmath]D=14^2-4\cdot8\cdot3[/inlmath]. Nadam se da je sad jasna razlika između te dve diskriminante – diskriminante po [inlmath]x[/inlmath] i diskriminante po [inlmath]m[/inlmath]. Dok smo za diskriminantu po [inlmath]x[/inlmath] imali uslov [inlmath]D<0[/inlmath], diskriminanta po [inlmath]m[/inlmath] će morati biti [inlmath]\ge0[/inlmath] kako bismo imali rešenja po [inlmath]m[/inlmath] (ako bismo za tu diskriminantu dobili da je negativna, ne bi postojala realna rešenja po [inlmath]m[/inlmath], tj. sam zadatak ne bi imao rešenja).
Šta je sa slučajem [inlmath]a=0[/inlmath]? Tada više ne bismo imali kvadratnu već linearnu funkciju, [inlmath]10x>0[/inlmath], što naravno ne bi bilo ispunjeno za svako realno [inlmath]x[/inlmath].
Ali, šta da je nejednakost glasila [inlmath](m+1)x^2+(4m+4)x+m+2>0[/inlmath]? Šta bi se tada desilo za slučaj [inlmath]a=0[/inlmath] (koeficijent uz kvadratni član je nula)?
