Skup svih vrednosti realnog parametra [inlmath]a[/inlmath] za koje nejednakosti [dispmath]\frac{1}{2}\leq\frac{x^2+ax+3}{x^2+4x+5}\leq\frac{3}{2}[/dispmath]
vaze za svaki realan broj [inlmath]x[/inlmath], je?
(prazan, jednoclan, dvoclan, troclan, interval)

Treba posebno naći uslov da je data funkcija od [inlmath]x[/inlmath] veća ili jednaka od [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], a posebno da je manja ili jednaka od [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath].

Ono što nam u ovom zadatku dosta pojednostavljuje stvari, to je činjenica da je imenilac funkcije, [inlmath]x^2+4x+5[/inlmath], pozitivan za svako [inlmath]x[/inlmath] (diskriminanta mu je manja od nule, što znači da ne seče [inlmath]x[/inlmath]-osu, a pošto je koeficijent uz kvadratni član pozitivan, to će i on biti uvek pozitivan). Pošto je imenilac pozitivan, možemo njime pomnožiti obe strane nejednačine, ne narušavajući nejednakost. (Da nije uvek pozitivan, morali bismo da diskutujemo slučajeve kad je pozitivan a kad negativan, pa da radimo za svaki od ta dva slučaja zasebno.)

Radimo prvo za prvu nejednakost:
[dispmath]\frac{x^2+ax+3}{x^2+4x+5}\ge\frac{1}{2}[/dispmath] Možemo, dakle, obe strane pomnožiti kvadratnom funkcijom iz imenioca leve strane, budući da ona ima pozitivnu vrednost za svako [inlmath]x[/inlmath]; takođe, pomnožimo obe strane i dvojkom iz imenioca desne strane:
[dispmath]2x^2+2ax+6\ge x^2+4x+5[/dispmath][dispmath]x^2+(2a-4)x+1\ge0[/dispmath] Da bi ova nejednakost važila za svako [inlmath]x[/inlmath], potrebno je ili da diskriminanta ove kvadratne funkcije bude manja od nule (tada ova kvadratna funkcija neće imati zajedničke tačke s [inlmath]x[/inlmath]-osom pa će joj vrednost uvek biti strogo veća od nule, budući da joj je koeficijent uz kvadratni član pozitivan), ili da diskriminanta ove kvadratne funkcije bude jednaka nuli (tada će ova kvadratna funkcija imati jednu zajedničku (dodirnu) tačku s [inlmath]x[/inlmath]-osom, pa će za jednu vrednost [inlmath]x[/inlmath] vrednost funkcije biti nula, a za sve ostale vrednosti [inlmath]x[/inlmath] vrednost funkcije će biti strogo veća od nule s obzirom na pozitivnost koeficijenta uz kvadratni član, što, zapravo, znači da će za sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath] vrednost funkcije biti veća ili jednaka od nule).
Da u ovoj nejednačini imamo znak stroge nejednakosti, tj. da je ova kvadratna funkcija strogo veća od nule, tada bismo, naravno, postavili uslov da diskriminanta treba da bude strogo manja od nule, tj. tada ne bismo smeli dozvoliti slučaj da funkcija ima ni tu jednu zajedničku tačku s [inlmath]x[/inlmath]-osom, već bi morala uvek biti strogo veća on nule, za svako [inlmath]x[/inlmath].

Dakle, [inlmath]D\le0[/inlmath]:
[dispmath]D=(2a-4)^2-4=4a^2-16a+12\le0[/dispmath][dispmath]a^2-4a+3\le0[/dispmath][dispmath]a_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=2\pm1[/dispmath][dispmath]a_1=1,\quad a_2=3[/dispmath][dispmath]\underline{1\le a\le3}\tag1[/dispmath]
Sada radimo i za drugu nejednakost:
[dispmath]\frac{x^2+ax+3}{x^2+4x+5}\le\frac{3}{2}[/dispmath][dispmath]2x^2+2ax+6\le3x^2+12x+15[/dispmath][dispmath]-x^2+(2a-12)-9\le0[/dispmath] Slična priča kao i za prethodni slučaj – diskriminanta takođe treba da bude ili manja od nule ili jednaka nuli, s tim da za ovaj slučaj važi da, kada je diskriminanta manja od nule, tada je vrednost funkcije negativna za svako [inlmath]x[/inlmath], pošto je negativan koeficijent uz kvadratni član, a kada je diskriminanta jednaka nuli, tada će vrednost funkcije biti ili manja od nule, ili će biti nula (za ono [inlmath]x[/inlmath] za koje funkcija dodiruje [inlmath]x[/inlmath]-osu).

[inlmath]D\le0[/inlmath]:
[dispmath]D=(2a-12)^2-36=4a^2-48a+108\le0[/dispmath][dispmath]a^2-12a+27\le0[/dispmath][dispmath]a_{1,2}=\frac{12\pm\sqrt{144-108}}{2}=6\pm3[/dispmath][dispmath]a_1=3,\quad a_2=9[/dispmath][dispmath]\underline{3\le a\le9}\tag2[/dispmath] Pošto funkcija treba istovremeno da bude i veća iil jednaka od [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] i manja iil jednaka od [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath] (za svako [inlmath]x[/inlmath]), tražimo presek uslova [inlmath](1)[/inlmath] i [inlmath](2)[/inlmath]:
[dispmath]1\le a\le3\quad\land\quad3\le a\le9[/dispmath] što, kao konačan rezultat, daje
[dispmath]\enclose{box}{a=3}[/dispmath]Prema tome, skup svih vrednosti realnog parametra [inlmath]a[/inlmath] koje zadovoljavaju zadati uslov je jednočlan.

Hvala na detaljnom odgovoru!

Imam jedno pitanje (mozda glupo,ali... ), sta bi stajalo u tekstu zadatka pa da se radi [inlmath]D\geq 0[/inlmath]?

Ne postoje glupa pitanja, već samo glupi odgovori.

Ako bismo radili [inlmath]D\ge 0[/inlmath], time bismo tražili slučaj da kvadratna funkcija ima ili jednu [inlmath]\left(D=0\right)[/inlmath] ili dve [inlmath]\left(D>0\right)[/inlmath] zajedničke tačke s [inlmath]x[/inlmath]-osom, tj. da kvadratna funkcija ima bar jednu nulu, pa bi jedan od mogućih tekstova zadatka mogao da bude, da svaka od jednačina[dispmath]\frac{x^2+ax+3}{x^2+4x+5}=\frac{1}{2}[/dispmath]i[dispmath]\frac{x^2+ax+3}{x^2+4x+5}=\frac{3}{2}[/dispmath]ima bar jedno rešenje po [inlmath]x[/inlmath].

Ja se izvinjavam, ali meni i dalje nije jasno zašto diskriminanta mora biti manja ili jednaka nuli, sa obzirom da zadatak traži za svaki realan broj, zar to onda ne bi trebalo da znači da bi diskriminanta morala biti isključivo manja od nule?

Upravo to sam napisao u ovom delu:

Daniel je napisao:Da bi ova nejednakost važila za svako [inlmath]x[/inlmath], potrebno je ili da diskriminanta ove kvadratne funkcije bude manja od nule (tada ova kvadratna funkcija neće imati zajedničke tačke s [inlmath]x[/inlmath]-osom pa će joj vrednost uvek biti strogo veća od nule, budući da joj je koeficijent uz kvadratni član pozitivan), ili da diskriminanta ove kvadratne funkcije bude jednaka nuli (tada će ova kvadratna funkcija imati jednu zajedničku (dodirnu) tačku s [inlmath]x[/inlmath]-osom, pa će za jednu vrednost [inlmath]x[/inlmath] vrednost funkcije biti nula, a za sve ostale vrednosti [inlmath]x[/inlmath] vrednost funkcije će biti strogo veća od nule s obzirom na pozitivnost koeficijenta uz kvadratni član, što, zapravo, znači da će za sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath] vrednost funkcije biti veća ili jednaka od nule).
Da u ovoj nejednačini imamo znak stroge nejednakosti, tj. da je ova kvadratna funkcija strogo veća od nule, tada bismo, naravno, postavili uslov da diskriminanta treba da bude strogo manja od nule, tj. tada ne bismo smeli dozvoliti slučaj da funkcija ima ni tu jednu zajedničku tačku s [inlmath]x[/inlmath]-osom, već bi morala uvek biti strogo veća on nule, za svako [inlmath]x[/inlmath].