Da, u pravu si Daniele za gresku, sada vidim . Mada iskreno tada kad sam radio taj zadatak i proveravao resenje tacno se dobije da je
[dispmath]x=2[/dispmath] jer je
[dispmath]3^2+4^2=5^2.[/dispmath] Dalje nisam ni proveravao kompletan postupak jer se provera poklopila sa resenjem [inlmath]2[/inlmath]. Ja sam se isto mucio oko tog zadatka a secam se da sam ga radio 2015 godine sigurno i tako ostao zadatak uradjen u svesci.

Evo ja sam ga riješila ovako:
[dispmath]5^x=4^x+3^x\\
5^x-4^x=3^x\\
(5-4)\left(5^{x-1}+5^{x-2}4+\cdots+4^{x-2}5+4^{x-1}\right)=3^x[/dispmath] E sad važi [inlmath]4\equiv1\pmod3[/inlmath] i [inlmath]5\equiv-1\pmod3[/inlmath], pa onda važi i [inlmath]4^k\equiv1\pmod3[/inlmath] i [inlmath]5^k\equiv(-1)^k\pmod3[/inlmath], što znači:
[dispmath]5^{x-1}+5^{x-2}4+\cdots+4^{x-2}5+4^{x-1}\equiv(-1)^{x-1}+(-1)^{x-2}+\cdots-1+1\equiv0\pmod3[/dispmath] Da bi izraz sa lijeve strane bio jednak nuli mora biti jednak broj [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] (jer one idu naizmenično). Pošto sa lijeve strane imamo [inlmath]x[/inlmath] jedinica (tačnije, brojeva oblika [inlmath](-1)^k[/inlmath]), onda [inlmath]2[/inlmath] mora da djeli [inlmath]x[/inlmath] tj.
[dispmath]x=2k[/dispmath] Sad se vraćamo na početak:
[dispmath]5^{2k}-4^{2k}=3^{2k}\\
\left(5^k-4^k\right)\left(5^k+4^k\right)=3^{2k}[/dispmath] Znači obe zagrade su neke potencije (stepeni) broja [inlmath]3[/inlmath], to jest:
[dispmath]5^k-4^k=3^s\\
5^k+4^k=3^{2k-s}\\
s<2k-s\iff s<k\quad\left(5^k-4^k<5^k+4^k\right)[/dispmath] Međutim, sad se postavlja pitanje koji je najveći zajednički djelilac [inlmath]5^k-4^k[/inlmath] i [inlmath]5^k+4^k[/inlmath]. Recimo da je to [inlmath]d[/inlmath]. Vrijedi:
[dispmath]d\mid5^k-\cancel{4^k}+5^k+\cancel{4^k}=2\cdot5^k\\
d\mid\cancel{5^k}+4^k-\cancel{5^k}+4^k=2\cdot4^k[/dispmath] ([inlmath]c\mid a\land c\mid b\Rightarrow c\mid{a-b}\land c\mid{a+b}[/inlmath])
Što znači da je [inlmath]d=2[/inlmath] ili [inlmath]d=1[/inlmath]. Međutim, oba broja su neparna tako da [inlmath]2[/inlmath] ne dolazi u obzir. Znači [inlmath]d=1[/inlmath]. Znači da su [inlmath]5^k-4^k[/inlmath] i [inlmath]5^k+4^k[/inlmath] tj. [inlmath]3^s[/inlmath] i [inlmath]3^{2k-s}[/inlmath] uzajamno prosti pa samo jedan može biti potencija [inlmath]3[/inlmath], a drugi mora biti [inlmath]1[/inlmath]. Naravno da će [inlmath]1[/inlmath] biti onaj manji, znači [inlmath]5^k-4^k[/inlmath], pa imamo:
[dispmath]5^k-4^k=1\\
5^k+4^k=3^{2k}[/dispmath] Prva jednačina se može napisati kao:
[dispmath](5-4)\left(5^{k-1}+5^{k-2}4+\cdots+4^{k-2}5+4^{k-1}\right)=1[/dispmath] Lijeva strana je očigledno [inlmath]\ge1[/inlmath], pa je jedino riješenje [inlmath]k=1\Rightarrow x=2[/inlmath] i to je jedino riješenje.
To je to, nadam se da je postupak korektan, meni se čini kao da jeste

nadja je napisao:To je to, nadam se da je postupak korektan, meni se čini kao da jeste

Postupak bi bio korektan ako bi se u zadatku tražio broj rešenja jednačine u skupu prirodnih brojeva, pod uslovom da je tačan.
Postupak nisam analizirao zato što sam odmah na početku uočio da u dokazu koristiš deljivost, odnosno kongruencije, a to su relacije koje se definišu u skupu celih brojeva. Pošto treba odrediti broj rešenja date jednačine u skupu realnih brojeva to znači da je [inlmath]x[/inlmath] proizvoljan realan broj. Naravno, tačno je tvrđenje [inlmath]5^k\equiv(-1)^k\pmod3[/inlmath], ako je [inlmath]k[/inlmath] prirodan broj. Međutim, ako je [inlmath]x[/inlmath] proizvoljan realan broj, relacija [inlmath]5^{x-1}\equiv(-1)^{x-1}\pmod3[/inlmath] nije tačna (nema smisla). Posmatrajmo najprostiji slučaj, stavimo da je [inlmath]x=0[/inlmath]. Na levoj strani kongruencije imamo razlomak [inlmath]5^{-1}[/inlmath], a za razlomke nije definisan ostatak pri deljenju sa prirodnim brojem.