MATEMANIJA

Kako ovo resiti bez digitrona (izracunati)
1.[dispmath]\sqrt[3]{2+\sqrt 5}+\sqrt[3]{2-\sqrt 5}[/dispmath]
probao sam da prosirim da dopunim da bude razlika kubova ali time nista nisam postigao,jedino sto mi pada na pamet je da dodam i oduzmem neke brojeve tako da bude [inlmath](x+y)^3[/inlmath] ali mi ne polazi za rukom

2.[dispmath]\sqrt{\left(\sqrt 7-3\right)^2}+\sqrt[3]{\left(\sqrt 7-3\right)^3}[/dispmath]
ovde da uklonim korene nista mi ne radi i ne znam sa sem toga da probam

1) Pomnoži potkorene veličine sa [inlmath]\frac{8}{8}[/inlmath]. Dobijaš:
[dispmath]\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{16+8\sqrt{5}}+\sqrt[3]{16-8\sqrt{5}}\right)[/dispmath]
Sad probaj obe potkorene veličine da predstaviš kao kubove.
[dispmath]\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{\left(1+\sqrt{5}\right)^3}+\sqrt[3]{\left(1-\sqrt{5}\right)^3}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{5}+1-\sqrt{5}\right)=2\cdot\frac{1}{2}=1[/dispmath]
Drugi način da ovo uradiš jeste da izjednačiš polazni izraz sa [inlmath]x[/inlmath] i onda stepenuješ obe strane sa [inlmath]3[/inlmath]... Itd.

2)
Kod prvog korena vodi računa da je [inlmath]\sqrt{a^2}=|a|[/inlmath], tj. da je [inlmath]\sqrt{\left(\sqrt 7-3\right)^2}=\left|\sqrt 7-3\right|=3-\sqrt 7[/inlmath].
S druge strane je [inlmath]\sqrt[3]{\left(\sqrt 7-3\right)^3}=\sqrt{7}-3[/inlmath].
Zbir ova dva je prema tome:
[dispmath]3-\sqrt{7}+\sqrt 7-3=0[/dispmath]

zasto je [dispmath]\left|\sqrt 7-3\right|=3-\sqrt 7[/dispmath]

Zato što je po definiciji [inlmath]\left|x\right|=-x[/inlmath] kada je [inlmath]x[/inlmath] manje od nule. A [inlmath]\sqrt 7-3[/inlmath] jeste manje od nule, jer je [inlmath]\sqrt 7<3[/inlmath]. A u to se možeš uveriti ili tako što kvadriraš obe strane pa dobiješ [inlmath]7<9[/inlmath] što je tačna nejednakost, ili tako što [inlmath]3[/inlmath] napišeš kao [inlmath]\sqrt 9[/inlmath], pa pošto je [inlmath]\sqrt 7<\sqrt 9[/inlmath], tada je i [inlmath]\sqrt 7<3[/inlmath].

ok,kako ti je palo na pamet da pomnozis sve sa [inlmath]\frac{8}{8}[/inlmath]?

Intuicija, cilj je bio da se postigne da potkorena veličina bude treći stepen nečega.

U principu, množenje sa [inlmath]\frac{8}{8}[/inlmath] nije nužno, nego možeš u startu da prikažeš potkorene veličine kao [inlmath]\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^3[/inlmath], odnosno [inlmath]\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^3[/inlmath].

[dispmath]a=\sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5}\\
a^3=2+\sqrt5+3\cdot\sqrt[3]{2+\sqrt5}\cdot\sqrt[3]{2-\sqrt5}\cdot\left(\sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5}\right)+2-\sqrt5\\
a^3=4+3\cdot\sqrt[3]{\left(2+\sqrt5\right)\cdot\left(2-\sqrt5\right)}\cdot a\\
a^3=4+3\cdot\sqrt[3]{2^2-\left(\sqrt5\right)^2}\cdot a\\
a^3=4+3\cdot\sqrt[3]{2^2-\left(\sqrt5\right)^2}\cdot a\\
a^3=4+3\cdot\sqrt[3]{4-5}\cdot a\\
a^3=4+3\cdot\sqrt[3]{-1}\cdot a\\
a^3=4+3\cdot\left(-1\right)\cdot a\\
a^3=4-3a\\
a^3+3a-4=0\\
a^3-a^2+a^2-a+4a-4=0\\
a^2\left(a-1\right)+a\left(a-1\right)+4\left(a-1\right)=0\\
\left(a-1\right)\left(a^2+a+4\right)=0\\
a-1=0\\
a=1[/dispmath]

Pozdrav.
Rjesavajuci zadatke iz zbirke za prijemni ispit naisao sam na zadatak koji ne mogu da shvatim!
Zadatak:
[dispmath]\sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5}[/dispmath]
Trazeci po internetu nasao sam isti zadatak i diskusiju o njemu , rjesava se po sljedecem identitetu:
[dispmath]\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^3=2+\sqrt5[/dispmath]
Da li mi neko moze pojasniti u koracima ovaj identitet ?
Hvala unaprijed.

Pozdrav.
Meni, lično, nikad ne bi palo na pamet da se [inlmath]2+\sqrt5[/inlmath] može napisati kao [inlmath]\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^3[/inlmath], da li je u tom objašnjenju napisano i kojim se putem do te jednakosti dolazi?
A kad već imaš pred sobom jednakost [inlmath]\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^3=2+\sqrt5[/inlmath], sasvim se lako pokazuje njena tačnost, tako što [inlmath]\frac{1+\sqrt5}{2}[/inlmath] digneš na treći stepen koristeći [inlmath]\left(\frac{a}{b}\right)^3=\frac{a^3}{b^3}[/inlmath] i formulu za kub zbira, [inlmath]\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/inlmath].

Radi ovog zadatka, pogledaj ovu temu.

Evo, da i ja pokušam da pomognem nekom u nevolji. Osim što važi [inlmath]2+\sqrt5=\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^3[/inlmath], onaj ko je postavio pitanje neka primeti da važi i da je [inlmath]2-\sqrt5=\left(\frac{1+\left(-\sqrt5\right)}{2}\right)^3[/inlmath], i onda može dalje i sam. Eto. Rezultat je, koliko sam ja računao, [inlmath]1[/inlmath].

Hvala na odgovorima.
@Gogele Da, rjesenje je [inlmath]1[/inlmath].
@Daniel U zbirci je samo pokazano rjesenje, [inlmath]1[/inlmath]. Nema nikakvog postupka. Ovo je forum, na kojem je diskutovano o zadatku. Na forumu pise da se upotrebljava Kardanova metoda, za koju iskreno dosad nisam cuo a ne vjerujem da smo je ucili u srednjoj skoli.
Ako ste upoznati sa pomenutom metodom, bio bih zahvalan da mi pojasnite u koracima kako doci do identiteta po kom se rjesava.
Hvala mnogo!

Hvala, baš me zanimalo na koji se način došlo do tog izraza.
Ja bih ti ipak preporučio da radiš na, po meni, najjednostavniji način – tako što ćeš tražiti treći stepen datog izraza, onako kako je to i opisano u temi na koju sam linkovao.

@techn0,
ne mešam se u temu.
Hteo sam samo (pošto si naš novi korisnik) da ti kao moderator foruma poželim dobrodošlicu na Matemaniju
p.s. Naš administrator @Daniel i naš korisnik @Gogele su po mom mišljenju odlično odgovorili. No svejedno, ako bude bilo potrebe, dopunićemo odgovor.

@Desideri Hvala. Nadam se da cu na ovom forumu prosiriti znanje iz matematike uz zajednicku diskusiju i pomoci ostalim clanovima foruma.
@Daniel Razumio sam zadatak! Malo je zeznuto otkriti sa kojim brojem treba prosiriti izraz pod korijenom.
Hvala mnogo.
PS: Pripremam se za prijemni ispit za ETF BL. Ako imate neke zbirke u pdf-u da mi preporucite bio bih zahvalan.
Trenutno obradjujem zbirku Katedre za matematiku Novi Sad (koliko znam tamo je prijemni dosta tezi, i navedeni zadatak je iz iste).

Jeste da je stara tema ali sam radio isti zadatak i naisao na problem. Moje pitanje bi bilo da li zaista postoji ta Kardanova metoda u udzbenicima za srednju skolu posto ja do sada nisam nikada cuo i drugo pitanje je da li moze i da li je greska ovaj zadatak raditi pomocu Lagranzovog identiteta?

Na prvo tvoje pitanje nisam bas siguran ali za drugo jesam. Naravno da nije greška raditi preko Lagranzovog identiteta, samo što je nameštanje na kub zbir dosta praktičniji način. Štaviše, mislim da su u zbirci ovi zadaci dati u cilju utvrđivanja Lagranzove formule. Ja uvek (kad mogu) izbegavam da se petljam sa ugnezdjenim korenovima, pa to preporučujem i tebi. Isto pitanje sam i ja postavio u ovoj temi, pa mozes je pogledati.

Frank je napisao:Štaviše, mislim da su u zbirci ovi zadaci dati u cilju utvrđivanja Lagranzove formule.

Ovo me isto veoma interesuje. Da li je to cilj tih zadataka ili da resimo kako mozemo. Isto bih zamolio nekoga da mi kaze da li postoje jos neke formule kod lekcije korenovanja i stepenovanja osim onih osnovnih posto se cesto u zadacima koriste i neke druge metode od onih osnovnih.

DarkoPatic je napisao:Da li je to cilj tih zadataka ili da resimo kako mozemo.

Pa sad... svakako je najbolje za tebe da znaš da uradiš na sto vise načina. Moj savet ti je da radiš na onaj način koji se tebi čini najpraktičniji i najefikasniji, jedino ako profesor insistira da radiš preko Lagranza... I ako insistira da radiš na taj način, ti mozes isti zadatak uraditi na još neki način (naravno ako ti vreme to dozvoljava, na kontrolnom npr.), pa da uporedis dobijene rezultate.

Što se tiče formula, ne verujem da ti neko moze reci imaš te i te formule pa... Ako ti nije jasan neki zadatak (ili neki metod) postavi ga u odgovarajucu temu, pa ce ti neko odgovoriti.

DarkoPatic je napisao:da li zaista postoji ta Kardanova metoda u udzbenicima za srednju skolu posto ja do sada nisam nikada cuo

Koliko je meni poznato, ne.

DarkoPatic je napisao:da li moze i da li je greska ovaj zadatak raditi pomocu Lagranzovog identiteta?

Lagranžov identitet se odnosi na izraz s kvadratnim korenima. Mi ovde imamo izraz s kubnim korenima.

Tacno to mada kad god vidim koren kod koren imam problem kako resiti zadatak. Uvek mi je prvo da li treba Lagranz ili moze drugacije. U ovom slucaju su kubni koreni a sta bi bilo da su bili na primer cetvrti koreni ili peti koreni ili sesti koreni? Na sta obratiti paznju prilikom rastavljanja? Postoje li neka pravila kojih se moramo pridrzavati?

DarkoPatic je napisao:U ovom slucaju su kubni koreni a sta bi bilo da su bili na primer cetvrti koreni ili peti koreni ili sesti koreni?

Uvek gledaj da ono ispod korena namestis na isti stepen kao i stepen korena, da bi ih jednostavno pokratio. Naravno treba da vodiš računa o sledecem:
[dispmath]\sqrt[n]{x^n}=n;\hspace{5mm}n\to\text{neparan}[/dispmath][dispmath]\sqrt[n]{x^n}=|n|;\hspace{5mm}n\to\text{paran}[/dispmath] Ja se lično nisam susretao sa zadacima u kojima neki izraz (u kojem figuriše iracionalan broj) pod korenom treba namestiti na neki ''visok'' stepen.
Naravno, ako imaš, na primer četvrti stepen, mozes dva puta da kvadriras čime ce se izgubiti korenovi. Pre nego sto kvadriras, staviš da ti je ceo izraz jednak [inlmath]a[/inlmath] (na primer) i onda kvadriras i levu i desnu stranu.

Samo jedna ispravka,

Frank je napisao:[dispmath]\sqrt[n]{x^n}=n;\hspace{5mm}n\to\text{neparan}[/dispmath][dispmath]\sqrt[n]{x^n}=|n|;\hspace{5mm}n\to\text{paran}[/dispmath]

treba, naravno, da bude
[dispmath]\sqrt[n]{x^n}=x;\hspace{5mm}n\to\text{neparan}[/dispmath][dispmath]\sqrt[n]{x^n}=|x|;\hspace{5mm}n\to\text{paran}[/dispmath]