MATEMANIJA

Odrediti skup vrednosti parametra [inlmath]m[/inlmath] za koje su rešenja jednačine veća od [inlmath]1[/inlmath]:
[dispmath]x^2+(m-4)\cdot x+4=0[/dispmath]
Rešenje je [inlmath](-1,0][/inlmath]
Može li samo mala pomoć oko rešavanja, samo koji uslovi? [inlmath]D>0[/inlmath], i vijetove formule veće od nule, ali mora da postoji još nešto? Možda teme?

Ima tu malo vise uslova. Da neki proizvoljan broj [inlmath]\alpha[/inlmath] ne pripada intervalu realnih korena, neophodno je sledece :
[inlmath]a\alpha^2+b\alpha+c>0[/inlmath] i [inlmath]a>0[/inlmath]. E dalje, da bi koreni bili veci od jedan, neophodno je da se jedinica nalazi sa leve strane tog intervala, tj. [inlmath]1<-\frac{b}{2a}[/inlmath]. I na kraju, da bi osigurali da su koreni date jednacine realni,neophodno je da [inlmath]D\ge 0[/inlmath].

[inlmath]x_1>1\\
x_2>1[/inlmath]

[inlmath]x_1+x_2>2\\
x_1\cdot x_2>1[/inlmath]

@Miladin, svi uslovi koje si naveo ispunjeni su u ovakvom slučaju:


ali ipak nisu oba rešenja veća od jedinice. Prema tome, nešto tu ipak fali.

@Dzenan, evo ti kontraprimer:
[dispmath]x_{1,2}=3\pm\sqrt 5[/dispmath]
Zbir ovih rešenja je veći od [inlmath]2[/inlmath], a njihov proizvod je veći od [inlmath]1[/inlmath], znači, ispunjavaju uslove koje si napisao. Pa, ipak, manje rešenje, [inlmath]3-\sqrt 5[/inlmath], nije veće od [inlmath]1[/inlmath]. Znači, uslovi koje si napisao ne osiguravaju to da su oba rešenja veća od jedinice.

---

Pošto se kaže da rešenja treba da budu veća od [inlmath]1[/inlmath], podrazumeva se da rešenja treba da budu realna, jer u kompleksnom domenu „veće od [inlmath]1[/inlmath]“ ne bi imalo smisao. Pri tome, dopušteno je da rešenje bude i jedno dvostruko, pri čemu ono mora biti veće od [inlmath]1[/inlmath]. Znači, diskriminanta treba da bude veća od nule, ali sme da bude i jednaka nuli: [inlmath]D\ge 0[/inlmath].

Zatim, neophodno je da ono rešenje koje ima manju vrednost, a to je [inlmath]\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/inlmath], bude veće od [inlmath]1[/inlmath] (čim je manje rešenje veće od [inlmath]1[/inlmath], automatski je tada i veće rešenje veće od [inlmath]1[/inlmath]):
[dispmath]\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}>1[/dispmath][dispmath]\frac{4-m-\sqrt{\left(m-4\right)^2-16}}{2}>1[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath]
odakle se dobije [inlmath]m\in\left(-1,0\right][/inlmath].

@Daniel
Hvala na pomoći, to je to, video sam da u gornjim rešenjima nešto ne štima, pa sam sačekao da još neko odgovori.
Hvala još jednom.

Ja i sa ovim uslovima dobijam resenje kako treba. Imamo [inlmath]m>-1[/inlmath], [inlmath]m<2[/inlmath] i [inlmath]m\in (-\infty,0]\cup [8,+\infty)[/inlmath] Presek valjda daje resenje. Ali to je onda puka slucajnost. Ako ti nije problem, koji uslov mi nedostaje ili gde gresim?

Da, njihov presek daje tačno rešenje. Ali, nisam baš shvatio na koji način si došao do uslova [inlmath]m>-1[/inlmath].
Jasno mi je da si do uslova [inlmath]m<2[/inlmath] došao iz [inlmath]1<-\frac{b}{2a}[/inlmath], kao i da si do uslova [inlmath]m\in\left(-\infty,0\right]\cup\left[8,+\infty\right)[/inlmath] došao iz [inlmath]D\ge 0[/inlmath].

Daniel je napisao:Da, njihov presek daje tačno rešenje. Ali, nisam baš shvatio na koji način si došao do uslova [inlmath]m>-1[/inlmath]

Pa iz činjenice da je ovde
[inlmath]\alpha=1[/inlmath]. I to sam zamenio u uslov koji sam prvo napisao [inlmath]a\alpha^2+b\alpha+c>0[/inlmath].

Aha, sad shvatam tvoj postupak, izvini zbog nesporazuma. Da, može se onda raditi i na taj način koji si predložio.
Onom skicom grafika koju sam pokazao nisam obuhvatio i taj prvi uslov koji si postavio – da jedinica ne pripada intervalu ograničenom rešenjima – zato što taj uslov nisam bio razumeo. Sorry još jednom zbog zabune.

Nema na čemu da se izvinjavaš I onako je tvoj postupak lakši i razumljiviji. Ja sam ovaj način video u jednoj zbirci.