MATEMANIJA

Za svako [inlmath]x>1[/inlmath]:
[dispmath]\sqrt{n-\sqrt{2n-1}}-\sqrt{n+\sqrt{2n-1}}[/dispmath]
Pokusao sam da pomnozim i podjelim kako bih napravio razliku kvadrata ali sam time samo jos vise zakomplikovao (možda mi je nesta promaklo, to mi izgleda kao jedini mogući korak u ovoj situaciji, ipak nista drugo nmg raditi sa ovim korjenovima). Ne znam šta da radim sa korijenovima obzirom da nmg kvadrirati zato sto ovo nije jednacina...

Kod zadataka u kojima se nalazi koren zbira/razlike broja i potkorene veličine, dakle u kojima se nalazi izraz oblika [inlmath]\sqrt{a\pm\sqrt b}[/inlmath], gotovo uvek se koristi sledeća formula:
[dispmath]\sqrt{a\pm\sqrt b}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}[/dispmath]
U ovom zadatku je [inlmath]\sqrt{a\pm\sqrt b}=\sqrt{n\pm\sqrt{2n-1}}[/inlmath].

Pošto nisam baš siguran da li se od vas očekuje da znate pomenutu formulu, zadatak se može uraditi i bez poznavanja iste.

Cilj ti je da potkorenu veličinu prikažeš kao kvadrat binoma, kako bi se koren i kvadrat kratili. Znači, pretpostaviš da je potkorena veličina jednaka kvadratnu nekog binoma oblika [inlmath]x\pm y[/inlmath]:
[dispmath]n\pm\sqrt{2n-1}=\left(x\pm y\right)^2\\
n\pm\sqrt{2n-1}=x^2+y^2\pm2xy[/dispmath]
Zbir kvadrata s desne strane izjednačimo s veličinom izvan korena na levoj strani, a koren izjednačimo sa sabirkom koji ne sadrži kvadrate,
[dispmath]x^2+y^2=n\\
2xy=\sqrt{2n-1}[/dispmath]
Rešavanjem ovog sistema jednačina dobije se [inlmath]\left(x,y\right)=\left(\sqrt{n-\frac{1}{2}},\frac{\sqrt2}{2}\right)[/inlmath] (ili [inlmath]\left(x,y\right)=\left(\frac{\sqrt2}{2},\sqrt{n-\frac{1}{2}}\right)[/inlmath], svejedno je, zbog simetričnosti [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] u posmatranom sistemu jednačina). Prema tome,
[dispmath]n\pm\sqrt{2n-1}=\left(\sqrt{n-\frac{1}{2}}\pm\frac{\sqrt2}{2}\right)^2[/dispmath]
[dispmath]\sqrt{n-\sqrt{2n-1}}-\sqrt{n+\sqrt{2n-1}}=\sqrt{\left(\sqrt{n-\frac{1}{2}}-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{n-\frac{1}{2}}+\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}\\
\sqrt{n-\sqrt{2n-1}}-\sqrt{n+\sqrt{2n-1}}=\left|\sqrt{n-\frac{1}{2}}-\frac{\sqrt2}{2}\right|-\left|\sqrt{n-\frac{1}{2}}+\frac{\sqrt2}{2}\right|[/dispmath]
Pošto je, po uslovu zadatka, [inlmath]n>1[/inlmath],
[dispmath]n>1\quad\Rightarrow\quad n-\frac{1}{2}>\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad\sqrt{n-\frac{1}{2}}>\frac{\sqrt2}{2}\quad\Rightarrow\\
\Rightarrow\quad\sqrt{n-\frac{1}{2}}-\frac{\sqrt2}{2}>0\quad\Rightarrow\quad\left|\sqrt{n-\frac{1}{2}}-\frac{\sqrt2}{2}\right|=\sqrt{n-\frac{1}{2}}-\frac{\sqrt2}{2}[/dispmath]
Čim je [inlmath]\sqrt{n-\frac{1}{2}}-\frac{\sqrt2}{2}>0[/inlmath], tim pre je i [inlmath]\sqrt{n-\frac{1}{2}}+\frac{\sqrt2}{2}>0[/inlmath], pa je i [dispmath]\left|\sqrt{n-\frac{1}{2}}+\frac{\sqrt2}{2}\right|=\sqrt{n-\frac{1}{2}}+\frac{\sqrt2}{2}[/dispmath]
Prema tome,
[dispmath]\sqrt{n-\sqrt{2n-1}}-\sqrt{n+\sqrt{2n-1}}=\cancel{\sqrt{n-\frac{1}{2}}}-\frac{\sqrt2}{2}-\cancel{\sqrt{n-\frac{1}{2}}}-\frac{\sqrt2}{2}\\
\enclose{box}{\sqrt{n-\sqrt{2n-1}}-\sqrt{n+\sqrt{2n-1}}=-\sqrt2}[/dispmath]

---

Po istom principu kao i u ovom postupku koji sam izložio, dala bi se izvesti i formula za opšti slučaj, koju je Ubavić pokazao.

Siniša meni je nekako poznat ovaj zadatak vidim napiso si sa ETF-a.Sa kojeg ETF-a? Da nije slučajno sa Banjalučkog i koja je godina ?
Ubavić evo ja se prvi put susrećem s tim formulama za rastavljanje korjena. Kao što Daniel kaže da nije siguran da se od nas očekuje da znamo tu formulu. Sigurno ima ih dosta koji je ne znaju.Aj ako ti nije problem samo mi daj upute za izvođenje ja ću pokušati sam jer neću da ovo učim napamet.

Kakve sad upute, Gamma? Pa lepo sam napisao na samom kraju svog prethodnog posta da se po istom tom principu izvodi i opšta formula. Znači, samo prouči ovaj postupak koji sam dao i umećeš da izvedeš i tu opštu formulu.

ja sam rijesavanjem tog sistema (na kraju dobijem bikvadratnu jednacinu)
dobio cetiri rijesenja, ista kao i kod daniela samo sto imaju i negativna.... ali kad je [inlmath]x[/inlmath] negativno tad je i [inlmath]y[/inlmath] negativno pa se taj minus moze izvuci ispred zagrade i kad se kvadrira on se neutralizuje

ovaj zadatak je sa prijemnog iz 2011 u istocnom sarajevu... imas na njihovom sajtu zadatke sa prijemnih iz prethodnih godina ovaj zadatak se radio u prijemnom ispitu 4.7.2011

mene je prvo bunilo zasto se korijen izjednacava sa [inlmath]2xy[/inlmath] ali sam onda shvatio da se samo prema [inlmath]x[/inlmath] ili [inlmath]y[/inlmath] (samo jednom od to dvoje) ponasamo kao prema nepoznatoj, tako gdje su obije kvadrirane tu i nema korjena vec neki realan broj i onaj kvadrirani korijen gdje je nepoznata a gdje je [inlmath]x\cdot y[/inlmath] tu je i dalje nepoznata pod korijenom ovo je neko moje vidjenje svega ovoga i bas mi je drago sto sam ovo naucio

I ja dobijem bikvadratnu jednačinu sa četiri rješenja.

Daniel je napisao:Kakve sad upute, Gamma?

Znam da ovo tvoje rješenje predstavlja izvođenje opšte formule jednim dijelom. Kada sam reko upute nisam mislio na ove tvoje što si radio zadatak.Evo sad pokušavam da izvedem tu opštu formulu na isti fazon. Ali ne da mi se. Znam da mora važiti za prvi korijen.
[dispmath]\sqrt{n-\sqrt{2n-1}}=\left|\sqrt{n-\frac{1}{2}}-\frac{\sqrt2}{2}\right|=\sqrt{\frac{n+\sqrt{n^2-2n+1}}{2}}-\sqrt{\frac{n-\sqrt{n^2-2n+1}}{2}}[/dispmath]
Mislio sam postupak da ne dobijem [inlmath]\sqrt{n-\sqrt{2n-1}}=\left|\sqrt{n-\frac{1}{2}}-\frac{\sqrt2}{2}\right|[/inlmath] već odmah da dođe se do ovoga [inlmath]\sqrt{n-\sqrt{2n-1}}=\sqrt{\frac{n+\sqrt{n^2-2n+1}}{2}}-\sqrt{\frac{n-\sqrt{n^2-2n+1}}{2}}[/inlmath]. Zapravo ne znam da li je to moguće izvesti. Ili da ovo shavtim kao logičnu jednakost mada mislim da jeste i logična.

@Gamma, da li znaš šta znači opšta formula? To bi u ovom slučaju bila formula koja za najopštiji oblik ovog izraza, [inlmath]\sqrt{a\pm\sqrt b}[/inlmath], pokazuje da je on jednak [inlmath]\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}[/inlmath].

Umesto toga, ti si ovde radio isključivo za [inlmath]\sqrt{n-\sqrt{2n-1}}[/inlmath], što je slučaj iz ovog zadatka. To nije opšti slučaj.

Evo još jednog načina rešavanja ovog zadatka.
[dispmath]\sqrt{n-\sqrt{2n-1}}-\sqrt{n+\sqrt{2n-1}}=[/dispmath]
Pošto je [inlmath]\sqrt{n-\sqrt{2n-1}}<\sqrt{n+\sqrt{2n-1}}[/inlmath], tj. od manje veličine oduzimamo veću, vidimo da ceo taj izraz mora biti negativan, što znači da ga možemo pisati u obliku apsolutne vrednosti tako što ispred zagrade apsolutne vrednosti stavimo minus:
[dispmath]=-\left|\sqrt{n-\sqrt{2n-1}}-\sqrt{n+\sqrt{2n-1}}\right|=[/dispmath]
Sada primenimo formulu [inlmath]\sqrt{x^2}=\left|x\right|[/inlmath], u obrnutom smeru, tako što apsolutnu vrednost napišemo kao koren kvadrata:
[dispmath]=-\sqrt{\left(\sqrt{n-\sqrt{2n-1}}-\sqrt{n+\sqrt{2n-1}}\right)^2}=[/dispmath]
Razvijemo kvadrat razlike, po formuli [inlmath]\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2[/inlmath],
[dispmath]=-\sqrt{n-\cancel{\sqrt{2n-1}}-2\sqrt{\left(n-\sqrt{2n-1}\right)\left(n+\sqrt{2n-1}\right)}+n+\cancel{\sqrt{2n-1}}}=[/dispmath]
Dalje sređujemo,
[dispmath]=-\sqrt{2n-2\sqrt{n^2-\left(2n-1\right)}}=-\sqrt2\sqrt{n-\sqrt{n^2-2n+1}}=\\
=-\sqrt2\sqrt{n-\sqrt{\left(n-1\right)^2}}=-\sqrt2\sqrt{n-\left|n-1\right|}=[/dispmath]
Pošto je, po uslovu zadatka, [inlmath]n>1[/inlmath], biće [inlmath]n-1>0[/inlmath], tako da je [inlmath]\left|n-1\right|=n-1[/inlmath],
[dispmath]=-\sqrt2\sqrt{n-\left(n-1\right)}=-\sqrt2\sqrt{\cancel n-\cancel n+1}=-\sqrt2[/dispmath]

Ovaj drugi način je dosta jednostavniji. Konačno uspio sam izvesti formulu za opšti slučaj.

Sinisa je napisao:[dispmath]\sqrt{n-\sqrt{2n-1}}-\sqrt{n+\sqrt{2n-1}}[/dispmath]

A može i ovako (rekao bih najbržije):
[dispmath]\sqrt{n-\sqrt{2n-1}}-\sqrt{n+\sqrt{2n-1}}=a\;\Big/^2\quad a<0\\
n\cancel{-\sqrt{2n-1}}-2\sqrt{n^2-2n+1}+n+\cancel{\sqrt{2n-1}}=a^2\\
2n- 2|n-1|=a^2\\
\cancel{2n}\cancel{-2n}+2=a^2\\
\left.\begin{array}{l}
a^2=2\\
a<0
\end{array}\right\}\;\Longrightarrow\;\enclose{box}{-\sqrt2}[/dispmath] Neka ćuti i ovaj način, neće se buniti.