MATEMANIJA

Skup svih vrednosti realnog parametra [inlmath]m[/inlmath] za koje su resenja jednacine [inlmath]x^2+(m-4)x+4[/inlmath] veca od [inlmath]1[/inlmath].

Ja sam krenula tako sto sam odredila [inlmath]D[/inlmath],i kasnije sam postavila da je zbir resenja veci od dva,medjutim ne dobijam tacno resenje,a ono je [inlmath](-1,0][/inlmath]

Ne trazi se zbir rjesenja, vec da sama rjesenja budu veca od [inlmath]1[/inlmath]... znaci [inlmath]x_1>1[/inlmath] i [inlmath]x_2>1[/inlmath] , kada rjesis te dvije nejednacine nadji presjek skupova rjesenja i to je to

Tacnoo,nisam posmatrala svako posebno resenje. Hvala Sinisa

kristinaaa je napisao:za koje su resenja jednacine [inlmath]x^2+(m-4)x+4[/inlmath]

[inlmath]x^2+(m-4)x+4[/inlmath] nije jednačina, već je to neki izraz. Da bi to bilo jednačina, potrebno je da sadrži znak jednakosti i neku vrednost. Pretpostavljam da si zaboravila da na kraju tog izraza dodaš [inlmath]=0[/inlmath], ali to je velika razlika.

Sinisa je napisao:znaci [inlmath]x_1>1[/inlmath] i [inlmath]x_2>1[/inlmath] , kada rjesis te dvije nejednacine nadji presjek skupova rjesenja i to je to

Zapravo, nema potrebe ispitivati oba rešenja.
Pošto je koeficijent uz kvadratni član pozitivan ([inlmath]a>0[/inlmath]), rešenje dato izrazom [inlmath]\frac{-b{\color{red}+}\sqrt D}{2a}[/inlmath] biće uvek veće (ili eventualno jednako) od rešenja datog sa [inlmath]\frac{-b{\color{red}-}\sqrt D}{2a}[/inlmath]. Prema tome, dovoljno je postaviti uslov da je manje od ta dva rešenja (ono koje je dato sa [inlmath]\frac{-b{\color{red}-}\sqrt D}{2a}[/inlmath]) veće od jedinice, i samim tim će, automatski, i ono veće rešenje, [inlmath]\frac{-b{\color{red}+}\sqrt D}{2a}[/inlmath], biti veće od jedinice.
Naravno, podrazumeva se da je prethodno postavljen uslov nenegativnosti diskriminante.

Prvi probni prijemni ispit FON (prva grupa) – 13. jun 2020.
12. zadatak

Skup svih vrednosti realnog parametra [inlmath]m[/inlmath] za koje su rešenja jednačine [inlmath]x^2+\left(m-4\right)x+4=0[/inlmath] veća od [inlmath]1[/inlmath] je;
Tačan odgovor je pod [inlmath]C)[/inlmath] [inlmath](-1,0][/inlmath].

Zadaci ovakvog tipa se rade na sledeći način;
Imamo 4 uslova;
1. Uslov: [inlmath]D\ge0[/inlmath]

[inlmath]a=1[/inlmath], [inlmath]b=m-4[/inlmath], [inlmath]c=4[/inlmath]
Odakle sledi nejednačina - [inlmath]m^2-8m+16-16\ge0[/inlmath], čija su rešenja [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]8[/inlmath], a sam skup [inlmath]m[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]m\in(-\infty,0]\cup[8,+\infty)[/inlmath]

2. uslov: [inlmath]\frac{-b}{a}>0[/inlmath]
[inlmath]x_1+x_2=-m+4[/inlmath] i [inlmath]x_1x_2=4[/inlmath]
Iz čega sledi [inlmath]-m+4>0[/inlmath] tj. [inlmath]m<4[/inlmath]

3. uslov: [inlmath]\frac{-b}{2a}>1[/inlmath] (da se tražilo da bude veće od npr [inlmath]2[/inlmath], onda bi tu stajalo [inlmath]2[/inlmath])

Iz čega sledi; [inlmath]\frac{-m+4}{2}>1[/inlmath]
Čijim se rešavanjem dobija interval [inlmath]m\in\left(-\infty,2\right)[/inlmath]

4. (poslednji uslov): [inlmath]f\left(1\right)>0[/inlmath] (isto napomena kao i kod 3. uslova - da se tražilo da bude veće od drugog broja, onda taj broj stavljamo u [inlmath]f[/inlmath])

Iz čega sledi; [inlmath]1+m-4+4>0[/inlmath] tj. [inlmath]m>-1[/inlmath]

Kada "upakujemo" sve ove uslove, vidimo da je konačno rešenje [inlmath](-1,0][/inlmath], što je i rešenje zadatka.
Osim 3. i 4. uslova, 1. i 2. uslov uvek ostaju isti.
Po meni je ovo najsigurniji način za rešavanje ovakvog tipa zadataka, ali naravno ako postoji kraći, rad sam da naučim.

Pogledaj ovu temu.

Acim je napisao:3. uslov: [inlmath]\frac{-b}{2a}>1[/inlmath] (da se tražilo da bude veće od npr [inlmath]2[/inlmath], onda bi tu stajalo [inlmath]2[/inlmath])

Mislim da ti je ovaj uslov suvišan. Ako je već postavljen uslov [inlmath]D\ge0[/inlmath], da se teme parabole nalazi desno od tačke [inlmath]x=1[/inlmath], kao i da je za [inlmath]x=1[/inlmath] vrednost funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] pozitivna, onda je jasno da obe nule moraju biti veće od jedinice.

---

Možda bi mogao biti zanimljiv i način preko Vietovih veza. Naravno, prvo i osnovno [inlmath]D\ge0[/inlmath], tj. [inlmath]m\in(-\infty,0]\cup[8,+\infty)[/inlmath]. Zatim postavljamo uslove:
[dispmath]x_1>1\quad\land\quad x_2>1\\
x_1-1>0\quad\land\quad x_2-1>0[/dispmath] I [inlmath]x_1-1[/inlmath] i [inlmath]x_2-1[/inlmath] biće oba pozitivna onda i samo onda kada je njihov proizvod pozitivan i kada je njihov zbir pozitivan, tako da to možemo pisati:
[dispmath](x_1-1)(x_2-1)>0\quad\land\quad(x_1-1)+(x_2-1)>0\\
x_1x_2-(x_1+x_2)+1>0\quad\land\quad x_1+x_2-2>0[/dispmath] Nakon uvrštavanja [inlmath]x_1x_2=4[/inlmath] i [inlmath]x_1+x_2=4-m[/inlmath], dobijamo [inlmath]m\in(-1,2)[/inlmath], što u preseku s uslovom diskriminante daje konačno [inlmath]m\in(-1,0][/inlmath].

Hvala na korekciji. Zanimljiv način, uzeću i njega u obzir za ubuduće.