MATEMANIJA

Pozdrav svima! Ovaj zadatak je bio 20. zadatak na prijemnom ispitu za Elektrotehnički fakultet 2015. godine.

20. Sva realna rešenja jednačine
[dispmath]\frac{x+\sqrt3}{\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt3}}+\frac{x-\sqrt3}{\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt3}}=\sqrt{x}[/dispmath]
nalaze se u skupu:
[inlmath](A)\;[\sqrt{3},2\sqrt{3})\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;(2\sqrt{3},3\sqrt{3})\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;[3\sqrt{3},6)\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;[6,8)[/inlmath] [inlmath](E)\;\emptyset\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\text{Ne znam}[/inlmath]

Tačan odgovor je pod [inlmath](A)[/inlmath].

Probao sam da dovedem na najmanji zajednički sadržalac, kao i da kvadriram celu jednačinu, ali u oba slučaja sam dobio komplikovane izraze, koje nisam znao da rešim.

Racionališi svaki od ta dva razlomka – znači, prvi pomnoži sa [inlmath]\displaystyle\frac{\sqrt x-\sqrt{x+\sqrt3}}{\sqrt x-\sqrt{x+\sqrt3}}[/inlmath]. Slično i za drugi. To je put koji vodi do rešenja.

Naravno, nemoj zaboraviti da na samom početku postaviš uslov definisanosti (nenegativnost potkorenih veličina), kako bi na kraju odbacio ona rešenja koja taj uslov ne zadovoljavaju.

Dobićeš na kraju [inlmath]x^2-4=0[/inlmath], naravno samo je [inlmath]x=2[/inlmath] rešenje.

Pokusao sam da uradim ovaj zadatak i stizem do ovog koraka [inlmath]\sqrt{x+\sqrt3}\left(x+\sqrt3\right)+\sqrt{x-\sqrt3}\left(x-\sqrt3\right)=3\sqrt{3x}[/inlmath], zanima me da li sam na pravom putu?

Jašta.
Sad kvadriraš obe strane, što ovde smemo da uradimo jer su obe strane nenegativne, tako da kvadriranjem ne treba da brinemo da će doći do gubljenja informacija o znaku leve i desne strane – za desnu stranu se odmah vidi da je nenegativna (kvadratni koren ne može dati negativnu vrednost), a i na levoj su oba sabirka nenegativna s obzirom na opseg vrednosti koje [inlmath]x[/inlmath] mora da ima da bi početna jednačina bila definisana (to je onaj uslov koji smo postavili na samom početku).

Uspeo sam da ga uradim, samo treba pazljivo kvadrirati i vecina se krati posle.

@Daniel Hvala na ideji, mora da sam negde pogrešio (ah, ta brzopletost...).

Pozdrav treba mi pomoc oko ovog zadatka. Nakon racionalisanja ispod razlomacke crte dobio sam [inlmath]\sqrt3[/inlmath] sto sam racionalisao jos jednom i dobio:
[dispmath]x\cdot\sqrt3\cdot\sqrt{x-\sqrt3}+x\cdot\sqrt3\cdot\sqrt{x+\sqrt3}-6\cdot\sqrt{x}-3\cdot\sqrt{x-\sqrt3}+3\sqrt{x+\sqrt3}=3\sqrt{x}[/dispmath]
Dalje ne znam sta treba

Nije trebalo sve to da izmnožiš. Ovako si na levoj strani dobio četiri sabirka s kvadratnim korenima, što otežava rešavanje jednačine.
Umesto toga, kad si došao do koraka
[dispmath]\left(x-\sqrt3\right)\left(\sqrt x+\sqrt{x-\sqrt3}\right)-\left(x+\sqrt3\right)\left(\sqrt x-\sqrt{x+\sqrt3}\right)=\sqrt{3x}[/dispmath]
izmnožiš to na sledeći način:
[dispmath]\cancel{x\sqrt x}-\sqrt{3x}+\left(x-\sqrt3\right)\sqrt{x-\sqrt3}-\cancel{x\sqrt x}-\sqrt{3x}+\left(x+\sqrt3\right)\sqrt{x+\sqrt3}=\sqrt{3x}[/dispmath]
Dakle, ne rastavljaš ove sabirke koji sadrže korene.
I, nakon prelaska dva sabirka [inlmath]\sqrt{3x}[/inlmath] na desnu stranu,
[dispmath]\left(x-\sqrt3\right)\sqrt{x-\sqrt3}+\left(x+\sqrt3\right)\sqrt{x+\sqrt3}=3\sqrt{3x}[/dispmath]
što je oblik do kojeg je i Herien Wolf došao, a koji je lakši za rešavanje, jer na levoj strani nemamo četiri sabirka s korenima, već dva. Dalje postupiš po instrukcijama koje sam dao Wolfu. Naravno, slobodno pitaj ako negde zapne.

P.S. Uneh ti malu korekciju u Latex – za množenje umesto * treba koristiti komandu \cdot, koja prikazuje tačku.

Ja ne znam da uradim ovo kada kvadriram dobijem prevelike stepene nema sanse da se uradi.

Da, dobije se jednačina šestog stepena, ali to ne treba da te plaši jer se, kao što su i prethodnici napisali, sve krati i ostane samo jedna zgodna kvadratna jednačina.

bobanex je napisao:Dobićeš na kraju [inlmath]x^2-4=0[/inlmath]