MATEMANIJA

Vrednost izraza:
[dispmath]\frac{1}{\sqrt[4]2+\sqrt[4]4+\sqrt[4]8+2}[/dispmath] Može pomoć oko dolaženja do rešenja?

Uoči da u imeniocu imaš sumu geometrijskog niza od četiri člana.

[dispmath]\frac{1}{\sqrt[4]2+\sqrt[4]4+\sqrt[4]8+2}[/dispmath] [inlmath]\sqrt[4]2+\sqrt[4]4+\sqrt[4]8+2\quad\longrightarrow\quad[/inlmath]Geometrijski niz

Formula za zbroj prvih [inlmath]n[/inlmath] članova niza je: [inlmath]\displaystyle\enclose{box}{S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}}[/inlmath]
[dispmath]\frac{1}{\displaystyle\sqrt[4]2+\sqrt[4]4+\sqrt[4]8+\sqrt[4]{16}}[/dispmath][dispmath]\frac{1}{\displaystyle\sqrt[4]2\frac{1-\sqrt[4]2^4}{1-\sqrt[4]2}}[/dispmath][dispmath]\frac{\displaystyle1-\sqrt[4]2}{\displaystyle\sqrt[4]2(1-2)}[/dispmath][dispmath]\frac{\displaystyle1-\sqrt[4]2}{\displaystyle-\sqrt[4]2}[/dispmath][dispmath]\frac{\displaystyle\sqrt[4]2-1}{\displaystyle\sqrt[4]2}[/dispmath][dispmath]\text{Resenje: }1-\frac{1}{\displaystyle\sqrt[4]2}[/dispmath]

Vrednost izraza
[dispmath]\frac{1}{\sqrt[4]2+\sqrt[4]4+\sqrt[4]8+2}[/dispmath]
Vidim da ih sve mogu svesti na zajednicku osnovu [inlmath]2[/inlmath]
[dispmath]\frac{1}{2^\frac{1}{4}+2^\frac{2}{4}+2^\frac{2}{4}+2}[/dispmath] ali ne znam kako dalje

Pozdrav,
Probaj za početak ovako:
[dispmath]\frac{1}{\sqrt[4]2+\sqrt[4]4+\sqrt[4]8+2}\\
\frac{1}{\sqrt[4]2+\sqrt[4]2^2+\sqrt[4]8+2}\\
\frac{1}{\sqrt[4]2+\sqrt2+\sqrt[4]8+2}\\
\frac{1}{\sqrt[4]2+\sqrt2+\sqrt[4]8+2}\cdot\frac{\sqrt[4]2+\sqrt2-\sqrt[4]8-2}{\sqrt[4]2+\sqrt2-\sqrt[4]8-2}[/dispmath] Nakon toga u imeniocu iskoristi razliku kvadrata, pa probaj sam rijesiti, ako zapne tu smo da pomognemo .

Ps: Rjesenje bi trebalo da bude [inlmath]\frac{-\sqrt[4]8+2}{2}[/inlmath]

A možeš i tako što, kad sve sabirke svedeš na osnovu [inlmath]2[/inlmath], uočiš geometrijski niz...

Ili ovako
[dispmath]\frac{1}{\sqrt[4]2+\sqrt[4]4+\sqrt[4]8+2}=\frac{1}{\sqrt[4]2+\sqrt[4]2^2+\sqrt[4]2^3+\sqrt[4]2^4}=\frac{1}{\sqrt[4]2\left(1+\sqrt[4]2\right)+\sqrt[4]2^3\left(1+\sqrt[4]2\right)}=\\
=\frac{1}{\left(1+\sqrt[4]2\right)\left(\sqrt[4]2+\sqrt[4]2^3\right)}=\frac{1}{\sqrt[4]2\left(1+\sqrt[4]2\right)\left(1+\sqrt2\right)}\\
\vdots[/dispmath] Sad svaki činilac posebno racionališi...
Imaš tri načina, pa ti biraj onaj koji ti je najlakši.

Hvala, svaki postupak ste odlicno objasnili

Pozdrav!
Potrebna mi je pomoć oko nekoliko zadataka; ovde ću postaviti jedan, a kasnije i ostale.
Dotični zadatak glasi:
Vrednost izraza
[dispmath]\frac{1}{\sqrt[4]2+\sqrt[4]4+\sqrt[4]8+2}[/dispmath] je?
Rešenje je:
[dispmath]1-\frac{1}{\sqrt[4]2}[/dispmath]

---

Zaista mi ništa ne pada na pamet osim toga da četvrte korene možemo napisati u obliku [inlmath]2^\frac{m}{n}[/inlmath], mada mi to baš i ne pomaže s obzirom na to da imamo zbir, a ne proizvod korena, u imeniocu.
Druga opcija jeste da izraz u imeniocu racionališem, ali nisam siguran koliko bi to bilo zgodno zbog ovih silnih korena. Postoji li neki kraći / jednostavniji način?
Svaki vid pomoći bi mi i više nego pomogao!
P.S. Inače, spremam prijemni, a algebarske izraze sam davno prešao, pa se opet susrećem sa njima sada kada prelazim sve zadatke redom.

Pošto je [inlmath]2=\sqrt[4]2^4[/inlmath], u imeniocu ispred zagrade izvuci [inlmath]\sqrt[4]2[/inlmath] a onda razlomak proširi sa [inlmath](\sqrt[4]2-1)[/inlmath].

@jans, uradio sam onako kako tvoje uputstvo nalaže i dobio tačno rešenje. Hvala ti puno, ili, kako mi retki koji volimo francuski jezik kažemo, merci beaucoup!

Na ovoj temi možeš videti još načina za rešavanje ovog zadatka (uključujući i, po meni najjednostavniji, preko sume geometrijskog niza)...

@Daniel, jaooo, geometrijski niz! Hvala ti i za taj predlog (ispade najlakši i najkraći)!
I, izvinjavam se zbog postavljanja zadatka koji već postoji na forumu; izgleda da nisam temeljno pregledao već postojeće teme.

Nikakav problem, nikad ne zamerimo zbog takvih stvari, pretraga baš i nije "friendly" kad su u pitanju matematički izrazi... A ima i malo previše zadataka na forumu da bi ih sad "ručno" pretraživao jedan po jedan...
Spojiću ja kasnije ovu temu s tom prethodnom, kako bismo imali sve s ovim zadatkom na jednom mestu...