MATEMANIJA

Prvi probni prijemni ispit FON – 11. jun 2017.
4. zadatak

Ovaj zadatak se može rešiti preko Lagranžovog identiteta
[dispmath]\sqrt{9-4\sqrt5}-\sqrt{9+4\sqrt5}[/dispmath][dispmath]\sqrt{9-4\sqrt5}=\sqrt{9-\sqrt{80}}=\sqrt{\frac{9+\sqrt{9^2-80}}{2}}-\sqrt{\frac{9-\sqrt{9^2-80}}{2}}=\sqrt{\frac{9+1}{2}}-\sqrt{\frac{9-1}{2}}=\sqrt5-2[/dispmath][dispmath]\sqrt{9+4\sqrt5}=\sqrt{9+\sqrt{80}}=\sqrt{\frac{9+\sqrt{9^2-80}}{2}}+\sqrt{\frac{9-\sqrt{9^2-80}}{2}}=\sqrt{\frac{9+1}{2}}+\sqrt{\frac{9-1}{2}}=\sqrt5+2[/dispmath][dispmath]\sqrt{9-4\sqrt5}-\sqrt{9+4\sqrt5}=\sqrt5-2-\left(\sqrt5+2\right)=\sqrt5-2-\sqrt5-2=\enclose{box}{-4}[/dispmath]

[dispmath]9-4\sqrt5=5-2\cdot2\cdot\sqrt5+4=\left(\sqrt5\right)^2-2\cdot2\cdot\sqrt5+2^2=\left(\sqrt5-2\right)^2[/dispmath] Ista priča za drugi koren. Ako nekome ne ide pa(m)ćenje Lagranžovog identiteta.

[dispmath]\sqrt{9-4\sqrt5}-\sqrt{9+4\sqrt5}=\sqrt{\left(2-\sqrt5\right)^2}-\sqrt{\left(2+\sqrt5\right)^2}=\left|2-\sqrt5\right|-\left|2+\sqrt5\right|=-2+\sqrt5-2-\sqrt5=4[/dispmath]

---

Kad smo već kod Lagranža da pribeležimo i formulu.
[dispmath]\sqrt{A\pm\sqrt B}=\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}\pm\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}[/dispmath]

Ili, nađimo kvadrat traženog izraza (lako ćemo posle naći sâm izraz, jer je iz njegovog prvobitnog oblika očigledno da mora biti negativan):
[dispmath]\begin{align}
\left(\sqrt{9-4\sqrt5}-\sqrt{9+4\sqrt5}\right)^2&=9-\cancel{4\sqrt5}-2\sqrt{9-4\sqrt5}\sqrt{9+4\sqrt5}+9+\cancel{4\sqrt5}\\
&=18-2\sqrt{\left(9-4\sqrt5\right)\left(9+4\sqrt5\right)}\\
&=18-2\sqrt{9^2-\left(4\sqrt5\right)^2}\\
&=18-2\sqrt{81-80}\\
&=16
\end{align}[/dispmath] Dakle, kvadrat traženog izraza je [inlmath]16[/inlmath], a pošto je traženi izraz negativan, to je njegova vrednost [inlmath]-4[/inlmath].

Može da se gleda i ovako;
Svaki izraz pod korenom se može zapisati u obliku [inlmath]\left(a+b\right)^2[/inlmath], pri čemu je deo [inlmath]a^2+b^2[/inlmath] racionalan broj, a deo [inlmath]2ab[/inlmath] iracionalan.
U ovom slučaju, deo [inlmath]a^2+b^2[/inlmath] treba da bude jednak [inlmath]9[/inlmath], dok bi deo [inlmath]2ab[/inlmath] trebao da bude jednak [inlmath]4\sqrt5[/inlmath], kod koga uvek biramo da [inlmath]a[/inlmath] bude veći broj od [inlmath]b[/inlmath].

[inlmath]a^2+b^2=9[/inlmath] i [inlmath]2ab=4\sqrt5[/inlmath]

[inlmath]ab=2\sqrt5[/inlmath] i odavde izaberemo da nam [inlmath]a=\sqrt5[/inlmath], a da [inlmath]b=2[/inlmath] jer je [inlmath]\sqrt5>2[/inlmath]
Provera;
[inlmath]\left(\sqrt5\right)^2+2^2=9[/inlmath], što znači da ovaj izraz možemo zapisati u obliku [inlmath]\sqrt{\left(\sqrt5-2\right)^2}[/inlmath]
Isto tako uradimo i za drugi deo, samo što će sada ići plus.