MATEMANIJA

Prijemni ispit ETF – 29. jun 2015.
15. zadatak

15. Skup svih realnih vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje važi nejednakost [inlmath]\left|4^{3x}-2^{4x+2}\cdot3^{x+1}+20\cdot12^x\cdot3^x\right|\ge8\cdot6^x\left(8^{x-1}+6^x\right)[/inlmath] je oblika (za neke realne brojeve [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] takve da je [inlmath]-\infty<a<b<c<d<+\infty[/inlmath]):
Resenje: [inlmath]\left(-\infty,a\right]\cup\left[b,c\right]\cup\left[d,+\infty\right)[/inlmath]

Dakle imamo [inlmath]2[/inlmath] slucaja. Kada je izraz u apsolutnoj veci ili jednak od izraza sa desne strane nejednakosti ili kada je izraz u apsolutnoj manji ili jednak od negativne vrednosti izraza sa desne strane nejednakosti
[dispmath]4^{3x}-2^{4x+2}\cdot3^{x+1}+20\cdot12^x\cdot3^x\ge8\cdot6^x\left(8^{x-1}+6^x\right)\\
2^{6x}-12\cdot2^{4x}\cdot3^x+20\cdot2^{2x}\cdot3^{2x}\ge2^{4x}\cdot3^x+8\cdot2^{2x}\cdot3^{2x}\\
2^{6x}-13\cdot2^{4x}\cdot3^x+12\cdot2^{2x}\cdot3^{2x}\ge0\Bigg/:\left(2^{2x}\cdot3^{2x}\right)\\
\frac{2^{4x}}{3^{2x}}-13\cdot\frac{2^{2x}}{3^x}+12\ge0\\
\left(\frac{4^x}{3^x}\right)^2-13\cdot\frac{4^x}{3^x}+12\ge0,\hspace{2cm}\frac{4^x}{3^x}=t\\
t^2-13t+12\ge0\\
(t-12)(t-1)\ge0\\
\frac{4^x}{3^x}\le1\hspace{3cm}\lor\hspace{3cm}\frac{4^x}{3^x}\ge12[/dispmath] I sta sad da radim sa ovim [inlmath]12[/inlmath]? Nikako ne vidim gresku :/

//EDIT:

U drugom slucaju se dobije [inlmath]\frac{4^x}{3^x}\ge4[/inlmath] i [inlmath]\frac{4^x}{3^x}\le7[/inlmath]. Nemojte samo da mi kazete da sam dobro uradio i da je sve sto je trebalo dalje da uradim jeste da logicki zakljucim da je [inlmath]a=0[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] odgovara onom [inlmath]x[/inlmath] u [inlmath]\frac{4^x}{3^x}\ge4[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath] odgovara onom [inlmath]x[/inlmath] u [inlmath]\frac{4^x}{3^x}\le7[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] odgovora onom [inlmath]x[/inlmath] u [inlmath]\frac{4^x}{3^x}\ge12[/inlmath]... Ovo mi sad sinulo ..

Iskreno si me izgubio tu malo na kraju što se tiče rešenja, ja ću ti priložiti moje rešenje koje sam dobio kada sam radio ovaj zadatak (a veruj mi, znam kako ti je bilo radeći ga ), pa ti uporedi.

Za početak ja bih izraz u apsolutnoj vrednosti i ostavio tako sve do trenutka dok nisam primoran da ga "razgranam", pa bih i tebi to preporučio.
Drugo:
[dispmath]\left|t^2-12t+20\right|\geq t+8,\quad t=\left(\frac{4}{3}\right)^x[/dispmath] Vidim da ti poprilično dobro ide sređivanje izraza, pa tebi ostavljam da nađeš kako sam došao do ovoga. Posle ovoga što sam ti dao mislim da je poprilično lako da ostatak zadatka odradiš sam - razgranaš ovo na dva slučaja i posle samo odradiš njihovu uniju. Ako ti treba pomoć oko sređivanja izraza javi.

Pa to je isto ono sto sam ja dobio

Ovo moze da se razbije na 2 slucaja,

1. [inlmath]t^2-12t+20\ge t+8\\
   t^2-13t+12\ge0[/inlmath]
   
   
2. [inlmath]t^2-12t+20\le-t-8\\
   t^2-11t+28\le0[/inlmath]

I upravo se ova resenja dobijaju. Mozda nisi pohvatao ovo sto sam rastavio na zagrade, ali to radim cisto da bih video koje su nule i da lakse predstavim na brojevnoj pravoj kako bih nasao resenje cele nejednacine.

Pa da u principu se svodi na isto, zato ti i rekoh da si me pogubio sa rešenjima malo tu na kraju... Ali bitno je da si rešio zadatak.

Zar nama ne trazi da odredimo interval gde se nalazi [inlmath]x[/inlmath] a ne [inlmath]t[/inlmath], trebamo sada vratiti smenu, a ne znam kako bih to uradio..

Pošto se (uz uslov [inlmath]t>0[/inlmath]) dobije [inlmath]t\in(0,1]\cup[4,7]\cup[12,+\infty)[/inlmath], a [inlmath]x=\log_\frac{4}{3}t[/inlmath], sledi da će rešenja po [inlmath]x[/inlmath] biti [inlmath]x\in(-\infty,0]\cup\left[\log_\frac{4}{3}4,\log_\frac{4}{3}7\right]\cup\left[\log_\frac{4}{3}12,+\infty\right)[/inlmath], a to opet odgovara ponuđenom odgovoru [inlmath]\left(-\infty,a\right]\cup\left[b,c\right]\cup\left[d,+\infty\right)[/inlmath] gde je [inlmath]-\infty<a<b<c<d<+\infty[/inlmath].

Naime, pošto je logaritam monotona i neprekidna funkcija (za osnovu veću od jedinice je rastuća), sledi da kada je [inlmath]a<b[/inlmath] ([inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] pozitivni) tada će biti i [inlmath]\log_\frac{4}{3}a<\log_\frac{4}{3}b[/inlmath], što znači da nismo morali vraćati smenu da bismo zaključili da onaj poredak koji važi za [inlmath]t[/inlmath] mora važiti i za [inlmath]x[/inlmath].