MATEMANIJA

Prijemni ispit ETF – 24. jun 2019.
15. zadatak

Koji je broj realnih rešenja jednačine:
[dispmath]3^x+4^x=5^x[/dispmath] Rešenje je [inlmath]1[/inlmath]. Kako se ovo rešava? Hvala na odgovorima.

Ne mozes ovako samo da postavis temu a da nisi ni krenuo zadatak. Prvo moras da ispostujes pravila foruma pa ce ti neko i pomoci. Oblast koju radis se zove eksponencijalna jednacina i tu postoje pravila kako se rade ovakvi zadatak. Mozes da ga uradis i primenom logaritma pa se potrudi malo a pomoc ces dobiti svakako kada ispostujes pravila foruma. Imas sve lepo objasnjeno u udzbeniku za drugi razred srednje skole.

Pitanje je u potpunosti u skladu sa pravilnikom. A ti ako nisi imao nameru da pomogneš (tačka 7. pravilnika), zaista nisi ništa ni morao da pišeš, jer ne vidim poentu tvog odgovora.

Ja se obraćam dobronamernim članovima foruma, a ne mogu da krenem zadatak jer nemam nikakvu ideju - probao sam da delim sa [inlmath]3^x[/inlmath], i to je to, ne znam da krenem.

Onda tako i naglasi u prvom postu a ne da samo napises kako se ovo resava jer po tacki 6 u pravilima foruma pise i ovo:

Kôd: Obeleži sve

6. Uz zadatak za koji tražite pomoć obavezno ostavite propratni komentar!
Napišite šta ste sve pokušali kako biste zadatak rešili, a poželjno je da priložite i svoj postupak, makar i pogrešan. U slučaju da ne znate ni kako da krenete sa zadatkom pa tražite samo početnu ideju – obavezno tako i naglasite.

Naravno ti nisi to naglasio nego si samo napisao kako se ovo resava kao da smo na pijaci.
Zadatak bih poceo ovako pomocu logaritma:
[dispmath]\log\left(3^x+4^x\right)=\log5^x\\
\log3^x+\log\left(\frac{4^x}{3^x+1}\right)=\log5^x[/dispmath] Dalje radis logaritam. Resenje jeste jedno i to je da je [inlmath]x=2[/inlmath].

@DarkoPatic, da nisi možda umesto
[dispmath]\log3^x+\log\left(\frac{4^x}{3^x+1}\right)=\log5^x[/dispmath] hteo da napišeš
[dispmath]\log3^x+\log\left(\frac{4^x}{3^x}+1\right)=\log5^x[/dispmath] ?

(Uz to, napomena da se u Latexu umesto log piše \log, kako prikaz ne bi bio [inlmath]log[/inlmath] već [inlmath]\log[/inlmath].)

I, ako bi mogao da pojasniš kako se tim načinom dalje dolazi do rešenja, pošto ja ne uočavam put?

---

Moj neki način bio bi da i levu i desnu stranu podelimo sa [inlmath]5^x[/inlmath], čime na levoj strani dobijamo očigledno opadajuću neprekidnu funkciju (kojoj vrednost opada od [inlmath]+\infty[/inlmath] do nule), a na desnoj strani dobijamo jedinicu (konstantu). Očigledno je da leva strana mora tačno jednom proći kroz vrednost jedan, čime zaključujemo da jednačina ima tačno jedno rešenje.

U međuvremenu mi je skrenuta pažnja da smo takav zadatak već i imali, pa bih pozvao zainteresovane da pogledaju i ovu temu.

Daniel je napisao:@DarkoPatic, da nisi možda umesto
[dispmath]\log3^x+\log\left(\frac{4^x}{3^x+1}\right)=\log5^x[/dispmath] hteo da napišeš
[dispmath]\log3^x+\log\left(\frac{4^x}{3^x}+1\right)=\log5^x[/dispmath] ?

U pravu si hteo sam da napisem
[dispmath]\log3^x+\log\left(\frac{4^x}{3^x}+1\right)=\log5^x[/dispmath]

Daniel je napisao:I, ako bi mogao da pojasniš kako se tim načinom dalje dolazi do rešenja, pošto ja ne uočavam put?

U svesci imam bas takav zadatak napisan ali ne znam da li je tacno pa dalje ide ovako:
[dispmath]x\log3+\log\Biggl(\left(\frac{4}{3}\right)^x+1\Biggr)=x\log5\\
x\log3+\log\left(\frac{4}{3}\right)^x+\log\left(\frac{1}{\left(\frac{4}{3}\right)^x}+1\right)=x\log5\\
x\Biggl(\log3+\log\left(\frac{4}{3}\right)\Biggr)+\log\left(\frac{1}{\left(\frac{4}{3}\right)^x}+1\right)=x\log5\\
\log\left(\frac{1}{\left(\frac{4}{3}\right)^x}+1\right)=\frac{\log5}{\log3+\log\left(\frac{4}{3}\right)}\\
\log\left(\frac{1}{\left(\frac{4}{3}\right)^x}+1\right)=1.160\\
x=2[/dispmath]

Daniele hvala na dobronamernom odgovoru kao i uvek!

@DarkoPatic, osim što si pogrešno prepisao sa https://www.quora.com/How-do-you-solve-3-x-+-4-x-5-x, da li bi molim te mogao da mi objasniš kako si iz poslednjeg koraka zaključio da je rešenje [inlmath]x=2[/inlmath]?

Tako sto levu stranu napises kao
[dispmath]\log10[/dispmath] pa ostalo sto sam pisao a desna strana jednakosti ti je
[dispmath]\log_{10}\left(\frac{25}{16}\right)[/dispmath] Posto mi tesko ide Latex poslacu ti privatnu poruku. Nisam prepisao nigde sa interneta nego takav zadatak imam resen u svesci jos pre nekoliko godina. Posto su u pitanju mali jednocifreni brojevi u zadatku mogao si da pretpostavis da ubacivanjem jednog jednocifrenog broja umesto [inlmath]x[/inlmath] dobijas resenje. Isprobavanjem pocevsi od broja [inlmath]1[/inlmath] za [inlmath]x[/inlmath] se vrlo brzo resi.

DarkoPatic je napisao:U svesci imam bas takav zadatak napisan ali ne znam da li je tacno

Skroz netačno. Prva greška je u ovom koraku:

DarkoPatic je napisao:[dispmath]x\Biggl(\log3+\log\left(\frac{4}{3}\right)\Biggr)+\log\left(\frac{1}{\left(\frac{4}{3}\right)^x}+1\right)=x\log5\\
\log\left(\frac{1}{\left(\frac{4}{3}\right)^x}+1\right)=\frac{\log5}{\log3+\log\left(\frac{4}{3}\right)}[/dispmath]

Ovo bi se moglo ovako raditi kada bi na levoj strani umesto znaka plus stajao znak puta, tj. kada bi leva strana glasila [inlmath]x\Biggl(\log3+\log\left(\frac{4}{3}\right)\Biggr)\cdot\log\left(\frac{1}{\left(\frac{4}{3}\right)^x}+1\right)[/inlmath]. Ali, pošto nemamo puta već plus, jedino što bi se smelo uraditi to je da se sabirak [inlmath]x\Biggl(\log3+\log\left(\frac{4}{3}\right)\Biggr)[/inlmath] prebaci na desnu stranu tako da time desna strana postane [inlmath]x\log5-x\Biggl(\log3+\log\left(\frac{4}{3}\right)\Biggr)[/inlmath], mada ne vidim da se time nešto dobija.

Sve i kad bi to smelo tako, opet imamo grešku u završnom koraku,

DarkoPatic je napisao:[dispmath]\log\left(\frac{1}{\left(\frac{4}{3}\right)^x}+1\right)=1.160\\
x=2[/dispmath]

(Prvo, na desnoj strani se ne dobija [inlmath]1,160[/inlmath] već [inlmath]1,16{\color{red}1}[/inlmath] ako se vodi računa o pravilnom zaokruživanju brojeva; takođe, ne treba da stoji znak [inlmath]=[/inlmath] već znak [inlmath]\approx[/inlmath], jer je u pitanju zaokruživanje; mada, ovo su samo napomene, te stvari nemaju mnogo doprinosa u ukupnoj grešci.)
Ono što je bitnije, to je da se iz prethodne jednačine ne dobija ni približno [inlmath]x=2[/inlmath] (bilo bi zaista i čudno da se dobije tačan rezultat, nakon one prethodne grube greške).

DarkoPatic je napisao:a desna strana jednakosti ti je
[dispmath]\log_{10}\left(\frac{25}{16}\right)[/dispmath]

[inlmath]1,160[/inlmath] nije jednako [inlmath]\log_{10}\left(\frac{25}{16}\right)[/inlmath].

---

I, zaista moram primetiti da su na linku koji je Pera priložio učinjene potpuno identične greške. Ne tvrdim ovime da si s tog sajta postupak prepisao ti, ali ga je sigurno odatle prepisao onaj čiji se postupak nalazi u svesci koju koristiš. Neverovatno je i to da već tri godine na Quori tako stoji skroz pogrešan postupak kao top-odgovor.

Eh, kad bi ovakve transcendentne jednačine bilo moguće tako rešavati analitičkim putem, životi matematičara bi bili potpuno drugačiji...

Da, u pravu si Daniele za gresku, sada vidim . Mada iskreno tada kad sam radio taj zadatak i proveravao resenje tacno se dobije da je
[dispmath]x=2[/dispmath] jer je
[dispmath]3^2+4^2=5^2.[/dispmath] Dalje nisam ni proveravao kompletan postupak jer se provera poklopila sa resenjem [inlmath]2[/inlmath]. Ja sam se isto mucio oko tog zadatka a secam se da sam ga radio 2015 godine sigurno i tako ostao zadatak uradjen u svesci.

Evo ja sam ga riješila ovako:
[dispmath]5^x=4^x+3^x\\
5^x-4^x=3^x\\
(5-4)\left(5^{x-1}+5^{x-2}4+\cdots+4^{x-2}5+4^{x-1}\right)=3^x[/dispmath] E sad važi [inlmath]4\equiv1\pmod3[/inlmath] i [inlmath]5\equiv-1\pmod3[/inlmath], pa onda važi i [inlmath]4^k\equiv1\pmod3[/inlmath] i [inlmath]5^k\equiv(-1)^k\pmod3[/inlmath], što znači:
[dispmath]5^{x-1}+5^{x-2}4+\cdots+4^{x-2}5+4^{x-1}\equiv(-1)^{x-1}+(-1)^{x-2}+\cdots-1+1\equiv0\pmod3[/dispmath] Da bi izraz sa lijeve strane bio jednak nuli mora biti jednak broj [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] (jer one idu naizmenično). Pošto sa lijeve strane imamo [inlmath]x[/inlmath] jedinica (tačnije, brojeva oblika [inlmath](-1)^k[/inlmath]), onda [inlmath]2[/inlmath] mora da djeli [inlmath]x[/inlmath] tj.
[dispmath]x=2k[/dispmath] Sad se vraćamo na početak:
[dispmath]5^{2k}-4^{2k}=3^{2k}\\
\left(5^k-4^k\right)\left(5^k+4^k\right)=3^{2k}[/dispmath] Znači obe zagrade su neke potencije (stepeni) broja [inlmath]3[/inlmath], to jest:
[dispmath]5^k-4^k=3^s\\
5^k+4^k=3^{2k-s}\\
s<2k-s\iff s<k\quad\left(5^k-4^k<5^k+4^k\right)[/dispmath] Međutim, sad se postavlja pitanje koji je najveći zajednički djelilac [inlmath]5^k-4^k[/inlmath] i [inlmath]5^k+4^k[/inlmath]. Recimo da je to [inlmath]d[/inlmath]. Vrijedi:
[dispmath]d\mid5^k-\cancel{4^k}+5^k+\cancel{4^k}=2\cdot5^k\\
d\mid\cancel{5^k}+4^k-\cancel{5^k}+4^k=2\cdot4^k[/dispmath] ([inlmath]c\mid a\land c\mid b\Rightarrow c\mid{a-b}\land c\mid{a+b}[/inlmath])
Što znači da je [inlmath]d=2[/inlmath] ili [inlmath]d=1[/inlmath]. Međutim, oba broja su neparna tako da [inlmath]2[/inlmath] ne dolazi u obzir. Znači [inlmath]d=1[/inlmath]. Znači da su [inlmath]5^k-4^k[/inlmath] i [inlmath]5^k+4^k[/inlmath] tj. [inlmath]3^s[/inlmath] i [inlmath]3^{2k-s}[/inlmath] uzajamno prosti pa samo jedan može biti potencija [inlmath]3[/inlmath], a drugi mora biti [inlmath]1[/inlmath]. Naravno da će [inlmath]1[/inlmath] biti onaj manji, znači [inlmath]5^k-4^k[/inlmath], pa imamo:
[dispmath]5^k-4^k=1\\
5^k+4^k=3^{2k}[/dispmath] Prva jednačina se može napisati kao:
[dispmath](5-4)\left(5^{k-1}+5^{k-2}4+\cdots+4^{k-2}5+4^{k-1}\right)=1[/dispmath] Lijeva strana je očigledno [inlmath]\ge1[/inlmath], pa je jedino riješenje [inlmath]k=1\Rightarrow x=2[/inlmath] i to je jedino riješenje.
To je to, nadam se da je postupak korektan, meni se čini kao da jeste

nadja je napisao:To je to, nadam se da je postupak korektan, meni se čini kao da jeste

Postupak bi bio korektan ako bi se u zadatku tražio broj rešenja jednačine u skupu prirodnih brojeva, pod uslovom da je tačan.
Postupak nisam analizirao zato što sam odmah na početku uočio da u dokazu koristiš deljivost, odnosno kongruencije, a to su relacije koje se definišu u skupu celih brojeva. Pošto treba odrediti broj rešenja date jednačine u skupu realnih brojeva to znači da je [inlmath]x[/inlmath] proizvoljan realan broj. Naravno, tačno je tvrđenje [inlmath]5^k\equiv(-1)^k\pmod3[/inlmath], ako je [inlmath]k[/inlmath] prirodan broj. Međutim, ako je [inlmath]x[/inlmath] proizvoljan realan broj, relacija [inlmath]5^{x-1}\equiv(-1)^{x-1}\pmod3[/inlmath] nije tačna (nema smisla). Posmatrajmo najprostiji slučaj, stavimo da je [inlmath]x=0[/inlmath]. Na levoj strani kongruencije imamo razlomak [inlmath]5^{-1}[/inlmath], a za razlomke nije definisan ostatak pri deljenju sa prirodnim brojem.