MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF – 15. jun 2019.
4. zadatak

Zadatak ide ovako: Skup svih rešenja nejednačine [inlmath]\displaystyle\frac{2-\sqrt{2-7x}}{x}>1[/inlmath] je podskup skupa:
Rešenje je [inlmath](-2,1][/inlmath]
Ovako sam ja pokušao da uradim:
[dispmath]\frac{2-\sqrt{2-7x}-x}{x}>0[/dispmath] Sada izjednačimo brojilac i imenilac sa nulom da vidimo gde se menjaju između [inlmath]-[/inlmath] i [inlmath]+[/inlmath].
[dispmath]x=0\;\land\;2-\sqrt{2-7x}-x=0[/dispmath] Imenilac se menja u [inlmath]0[/inlmath] i to je rastuća funkcija iz [inlmath]-[/inlmath] u [inlmath]+[/inlmath]. Brojilac je iracionalna jednačina, sredimo je i postavimo uslove:
[dispmath]\sqrt{2-7x}=-x+2[/dispmath][dispmath]2-7x\geq0\quad\land\quad-x+2\geq0\quad\land\quad2-7x=x^2-4x+4[/dispmath][dispmath]x\leq\frac{2}{7}\quad\land\quad x\leq2\quad\land\quad x^2+3x+2=0[/dispmath] Iz kvadratne jednačine dobijamo vrednosti [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath]. Ove vrednosti prolaze jer su uslovi zadovoljeni. Pošto je [inlmath]a>0[/inlmath] funkcija se smeši, i dobijamo da je u [inlmath]+[/inlmath]-u od [inlmath](-\infty,-2)\cup(-1,\infty)[/inlmath]
Kada se posle napravi tabela, dobijemo [inlmath]x\in[-2,-1]\cup(0,\infty)[/inlmath], ali to nije podskup rešenja. Gde grešim?

Zaboravio si uslov [inlmath]2-7x\ge0[/inlmath] da bi koren bio definisan, odnosno da bi potkorena velicina bila nenegativna.

Zbog nekog razloga sam pretpostavio da ga ne treba koristiti, jer ga imam u iracionalnoj jednačini
Hvala ti puno!

Evo uradiću ja na jos jedan način. Sličan je kao Miljanov, ali je malo brži.
Da bi rešenja bila u skupu [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], tj. da potkorena veličina bude nenegativna potrebno je da [inlmath]x\le\frac{2}{7}[/inlmath]. Dakle, [inlmath]x[/inlmath] ne moze biti nenegativno. Sada obe strane nejednakosti pomnozimo sa [inlmath]x[/inlmath] (menjamo znak), nakon čega se dobija [inlmath]\sqrt{2-7x}>2-x[/inlmath] Uslov za levu stranu smo već postavili [inlmath]x\le\frac{2}{7}[/inlmath], a desna mora biti pozitivna (jer je [inlmath]x[/inlmath] negativno [inlmath])[/inlmath], tj. [inlmath]x<2[/inlmath]. Sad kvadriramo obe strane, nakon čega dobijamo [inlmath]x\in(-2,-1)[/inlmath]. I na kraju odredimo presek sa slučajem [inlmath]x\le\frac{2}{7}[/inlmath] (ovaj slučaj obuhvata i slučajeve [inlmath]x<0[/inlmath] i [inlmath]x<2[/inlmath]). Konačno rešenje je [inlmath]x\in\left(-2,\frac{2}{7}\right][/inlmath].

Ovaj deo mi nije baš najjasniji:

Frank je napisao:...da potkorena veličina bude nenegativna potrebno je da [inlmath]x\le\frac{2}{7}[/inlmath]. Dakle, [inlmath]x[/inlmath] ne moze biti nenegativno.

Po meni, ove dve rečenice su kontradiktorne. Moguće je da i [inlmath]x[/inlmath] i potkorena veličina budu nenegativni. Šta ako je [inlmath]x=\frac{2}{7}[/inlmath]? Ili [inlmath]x=0,005[/inlmath]? Obe vrednosti za [inlmath]x[/inlmath] su nenegativne, a koren je definisan. Naravno, onda "pada u vodu" i dalji postupak. Upravo je u prvoj citiranoj rečenici (i u mom prvom postu na ovoj temi) postavljen uslov definisanosti korena.

Uf... U pravu si. Ne znam odakle mi se predvideo minus ispred [inlmath]\frac{2}{7}[/inlmath]. Da postoji taj minus onda bi postupak bio OK....

@miljan1403
Pored uslova [inlmath]x\le\frac{2}{7}[/inlmath] (na koji ti je miletrans skrenuo pažnju), zaboravio si i uslov [inlmath]x\le2[/inlmath] (mada bi taj uslov ionako bio automatski ispunjen da si uzeo u obzir uslov [inlmath]x\le\frac{2}{7}[/inlmath]).

Druga stvar, granice intervala. Ispravno si odredio da će izraz [inlmath]x^2+3x+2[/inlmath] biti pozitivan za [inlmath]x\in(-\infty,-2)\cup(-1,\infty)[/inlmath], ail to ne znači da će biti negativan svuda van tog intervala, tj. za [inlmath]x\in[-2,-1][/inlmath]. Postoje vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje taj izraz neće biti ni pozitivan ni negativan, već će biti nula – to su vrednosti [inlmath]x=-2[/inlmath] i [inlmath]x=-1[/inlmath]. Prema tome, izraz [inlmath]x^2+3x+2[/inlmath] će biti negativan ne za [inlmath]x\in[-2,-1][/inlmath], već za [inlmath]x\in(-2,-1)[/inlmath].

---

Drugi način da se reši nejednačina bio bi ne pomoću tabele, već da se postavi uslov da su i brojilac i imenilac istog znaka (kako bi, je li, vrednost razlomka bila pozitivna):
[dispmath]x<0\quad\land\quad 2-\sqrt{2-7x}-x<0[/dispmath][dispmath]\lor[/dispmath][dispmath]x>0\quad\land\quad 2-\sqrt{2-7x}-x>0[/dispmath]

Daniel je napisao:Pored uslova [inlmath]x\le\frac{2}{7}[/inlmath] (na koji ti je miletrans skrenuo pažnju), zaboravio si i uslov [inlmath]x\le2[/inlmath] (mada bi taj uslov ionako bio automatski ispunjen da si uzeo u obzir uslov [inlmath]x\le\frac{2}{7}[/inlmath]).

Odakle dobijamo taj uslov?

Daniel je napisao:Druga stvar, granice intervala. Ispravno si odredio da će izraz [inlmath]x^2+3x+2[/inlmath] biti pozitivan za [inlmath]x\in(-\infty,-2)\cup(-1,\infty)[/inlmath], ail to ne znači da će biti negativan svuda van tog intervala, tj. za [inlmath]x\in[-2,-1][/inlmath]. Postoje vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje taj izraz neće biti ni pozitivan ni negativan, već će biti nula – to su vrednosti [inlmath]x=-2[/inlmath] i [inlmath]x=-1[/inlmath]. Prema tome, izraz [inlmath]x^2+3x+2[/inlmath] će biti negativan ne za [inlmath]x\in[-2,-1][/inlmath], već za [inlmath]x\in(-2,-1)[/inlmath].

Da, video sam tu grešku dok sam ga radio, znak je veće, tako da to ne uključuje nule. Hvala ti

miljan1403 je napisao:Odakle dobijamo taj uslov?

Pa, sâm si ih napisao, zar si zaboravio?

miljan1403 je napisao:[dispmath]x\leq\frac{2}{7}\quad\land\quad x\leq2\quad\land\quad x^2+3x+2=0[/dispmath]

Zar se uslov [inlmath]x\geq\frac{2}{7}[/inlmath] ne odnosi na koren, i zato se javlja i u početnoj jednačini a i u iracionalnoj jednačini?
A uslov [inlmath]x\leq2[/inlmath] se odnosi samo na iracionalnu jedinačinu i on utiče samo na na opseg rešenja iracionalne jednaine?