MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF – 15. jun 2019.
2. zadatak

Zadatak ide ovako: Neka je [inlmath]a=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}[/inlmath], gde su [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] uzajamno prosti brojevi. Ako je [inlmath]a[/inlmath] parametar za koji je zbir kubova rešenja jednačine [inlmath]3x^2-3x+5a^2-7a-3=0[/inlmath] maksimalan, onda je [inlmath]q\choose p[/inlmath] jednako:
Rešenje: [inlmath]120[/inlmath].
Prvo što mi je palo na pamet jeste da nađem rešenja kvadratne jednačine ali dobijem čudan broj ispod korena, pa sam mislio da uradim [inlmath]D\geq0[/inlmath], ali takođe ništa nisam dobio

Interesantan zadatak, pomalo netipičan. Ja bih iskoristio algebarske identitete da transformišem zbir kubova u izraz gde mi figurišu samo [inlmath]x_1+x_2[/inlmath] i [inlmath]x_1x_2[/inlmath] (gde su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] rešenja polazne kvadratne jednačine po [inlmath]x[/inlmath]). Onda bih iskoristio Vietova pravila, čime bih dobio da je zbir kubova jednak nekom izrazu u kome figuriše [inlmath]a[/inlmath]. Dalje ne bi trebalo da bude problem da se odredi za koju vrednost [inlmath]a[/inlmath] zbir kubova ima maksimalnu vrednost.

miljan1403 je napisao:onda je [inlmath]p\choose q[/inlmath] jednako:

U tekstu nije zadato da se nađe [inlmath]p\choose q[/inlmath], već [inlmath]q\choose p[/inlmath]. To je ogromna razlika.
Ispravio sam.

Da, čim se u zadatku traži ili zbir/proizvod rešenja, ili zbir njihovih kvadrata/kubova, ili tako nešto, tada po pravilu idu Vietove formule, kao što je miletrans i odgovorio. Upotrebom Vietovih formula ovaj zadatak se vrlo lako i brzo rešava.

miljan1403 je napisao:pa sam mislio da uradim [inlmath]D\geq0[/inlmath],

Ovo nikako ne treba raditi. Nigde nije rečeno da rešenja jednačine moraju biti realna (zbir kubova rešenja uvek će biti realan, čak i onda kad su rešenja konjugovano-kompleksna). Uvođenjem uslova [inlmath]D\geq0[/inlmath] može se desiti da odbaciš one vrednosti za koje bi se moglo dobiti tačno rešenje zadatka.

miletrans je napisao:... zbir kubova ima maksimalnu vrednost.

Šta tačno znači maksimalna vrednost?

Pokušaću da uradim, pa javljam kako ide.

Zamisli da su za neku vrednost [inlmath]a[/inlmath] rešenja ove jednačine [inlmath]x_1=1[/inlmath] i [inlmath]x_2=2[/inlmath]. Zbir kubova bi bio [inlmath]1^3+2^3=9[/inlmath]. Zamisli sad da su za neko drugo [inlmath]a[/inlmath] rešenja [inlmath]x_1=0[/inlmath] i [inlmath]x_2=3[/inlmath]. Zbir kubova u drugom slučaju je [inlmath]0^3+3^3=27[/inlmath]. Očigledno, zbir kubova u drugom slučaju je veći nego u prvom. U zadatku sada tražimo onu vrednost [inlmath]a[/inlmath] za koju će ovaj zbir da bude maksimalan. Ako ti je lakše da zamisliš, zamisli da tražimo maksimum funkcije u kojoj je nezavisno promenjljiva [inlmath]a[/inlmath], a zavisno promenljiva zbir kubova ([inlmath]x_1^3+x_2^3[/inlmath]).

Dobio sam da je [inlmath]x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)\left(\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right)[/inlmath].
Preko Vijeta dobijam da je [inlmath]x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{3}=1[/inlmath] i [inlmath]x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{5a^2-7a-3}{3}[/inlmath].
I sada kada zamenim dobijam:
[dispmath]-5a^2+7a+4[/dispmath] Šta sada treba da uradim? Pretpostavljam da treba rešiti kvadratnu jednačinu ali dobijam
[dispmath]a_{1/2}=\frac{-7\pm\sqrt{129}}{-10}[/dispmath] Grešim li negde?

Dobro si razvio zbir kubova, i tačno si dobio njihovu zavisnost za [inlmath]a[/inlmath]:
[dispmath]x_1^2+x_2^2=-5a^2+7a+4[/dispmath] Pogledaj sada tekst zadatka. Traži se vrednost [inlmath]a[/inlmath] za koju će navedeni izraz da ima maksimum. Nema potrebe da rešavaš jednačinu po [inlmath]a[/inlmath].

Zamenio sam par brojeva i mislim da izraz ima maksimalno rešenje u [inlmath]a=1[/inlmath], da li to znači da su [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] jednaki jer na početku zadataka dobijamo da je [inlmath]a=\frac{p}{q}[/inlmath]. Naravno to moraju biti dva prosta broja, da li grešim u razmišljanju?

Vidi, [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] ne moraju da budu dva prosta nego dva uzajamno prosta broja, to je velika razlika (pogledaj zadatak).

Sad se već udaljavamo od algebre, ali ako ti je lakše, posmatraj ovo kao funkciju
[dispmath]x_1^3+x_2^3=f(a)=-5a^2+7a+4[/dispmath] Sada tražimo maksimum ove funkcije. Ako znaš formulu za teme parabole, možeš da je iskoristiš. Ako ne znaš formulu, odrediš maksimum kao što se određuje maksimum bilo koje druge funkcije (ovde je očigledno da funkcija ima maksimum). Nema potrebe da "napipavaš" vrednosti.

Uspeo sam da uradim
Za one koji imaju problema, odavde se izvuče prvi izvod funkcije. On se izjednači sa nulom, pošto vidimo da je funkcija opadajuća, maksimalna vrednost će ustvari biti u nuli. Dobijemo da je [inlmath]a=\frac{7}{10}[/inlmath] i onda izračunamo [inlmath]10\choose7[/inlmath]. Ako nisam u pravu, slobodno me ispravite.

Hvala na pomoći!

Tako je, za izvod se dobije [inlmath]-10a+7[/inlmath] i nakon njegovog izjednačavanja s nulom očigledno je koliko je [inlmath]a[/inlmath].

Moguće je uraditi i na drugi način, bez traženja izvoda, uz pomoć formule za [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu temena kvadratne funkcije, koja glasi [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a}[/inlmath] (ne mešati ovo [inlmath]a[/inlmath] iz formule, koje predstavlja koeficijent uz kvadratni član, s ovim našim parametrom [inlmath]a[/inlmath] iz ovog zadatka). Nakon uvrštavanja, dobije se [inlmath]x_T=-\frac{7}{2\cdot(-5)}[/inlmath], i to je zapravo vrednost parametra [inlmath]a[/inlmath] za koje će kvadratni trinom imati maksimalnu vrednost.

Na koji će od ova dva načina biti izračunat maksimum, potpuno je svejedno.

Naravno, [inlmath]10\choose7[/inlmath] se, radi lakšeg računanja, može napisati kao [inlmath]10\choose3[/inlmath] (po osobini binomnog koeficijenta [inlmath]{n\choose k}={n\choose n-k}[/inlmath]).

Ne razumem ovaj poslednji korak kad dobijemo teme.. Sta dalje posle toga?

Iskoristi sledeće:
[dispmath]C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}={n\choose k},\qquad0\le k\le n[/dispmath] Ubaciš brojne vrednosti i to je to.