Prijemni ispit ETF – 7. jul 2014.
17. zadatak

Ako je uređen par [inlmath](x,y)(x,y\in\mathbb{R},\;x,y>0,\;x\ne1)[/inlmath], rešenje sistema jednačina [inlmath]x^y=y^x[/inlmath], [inlmath]x^p=y^q[/inlmath] [inlmath](p,q\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\;p\ne q)[/inlmath], tada je proizvod [inlmath]x\cdot y[/inlmath] jednak?

Rešenje: [inlmath]\enclose{box}{\left(\frac{p}{q}\right)^\frac{p+q}{p-q}}[/inlmath]

Cao svima, da li neko moze da mi pomogne oko zadatka? Hvala unapred

Transformišimo prvu jednakost:
[dispmath]x^y=y^x[/dispmath][dispmath]y=x\cdot\log_xy[/dispmath][dispmath]\frac{y}{x}=\log_xy[/dispmath] Transformišimo drugu jednakost:
[dispmath]x^p=y^q[/dispmath][dispmath]p=q\cdot\log_xy[/dispmath][dispmath]\frac{p}{q}=\log_xy[/dispmath] Na osnovu ovoga možemo zaključiti da je:
[dispmath]\frac{y}{x}=\frac{p}{q}[/dispmath] Takođe na osnovu druge jednakosti imamo:
[dispmath]y=x^\frac{p}{q}[/dispmath][dispmath]\frac{y}{x}=x^\frac{p-q}{q}[/dispmath] Odnosno:
[dispmath]\frac{p}{q}=x^\frac{p-q}{q}[/dispmath][dispmath]x=\left(\frac{p}{q}\right)^\frac{q}{p-q}[/dispmath] Sa druge strane imamo:
[dispmath]y=x\cdot\frac{p}{q}[/dispmath][dispmath]y=\left(\frac{p}{q}\right)^\frac{q}{p-q}\cdot\frac{p}{q}[/dispmath][dispmath]y=\left(\frac{p}{q}\right)^\frac{p}{p-q}[/dispmath] Odakle se konačno dobija:
[dispmath]x\cdot y=\left(\frac{p}{q}\right)^\frac{p+q}{p-q}[/dispmath]