MATEMANIJA

Najpre, dobar dan svima.
Nadam se da ste dobro i zdravo.

Nov sam ovde, tako da mi nemojte zameriti ako nešto nisam ispoštovao - pročitah pravilnik par puta, ali ima dosta, pa se nadam da ćete razumeti.
Isto tako, nisam mogao da pronađem ovu temu, iako sam siguran da negde postoji. Ako je ima na nekom drugom mestu, molim vas recite mi gde i kako da premestim.

Planiram da upišem ETF, pa radim "metodičku zbirku zadataka za polaganje prijemnog ispita iz matematike" gospodina Mirka Jovanovića.
Preporučio bih svima, zaista ima korisnih zadataka.

Elem, kao i uvek kada radim, obično se nađe zadatak koji je u rešenju urađen na skroz drugačiji način od onoga koji sam ja koristio.
U većini slučajeva, to ne bude bitno jer krajnje rešenje bude ono koje je i očekivano, ali ponekad, pretpostavljate, ne bude.

Zadatak glasi Rešiti jednačinu, a jednačina je
[dispmath]\sqrt{\frac{x-4}{x}}+\sqrt{\frac{3x+4}{x}}=2[/dispmath] Najpre sam, naravno, definisao domen, gde se dobije
[dispmath]x\in\left(-\infty,-\frac{4}{3}\right]\cup[4,+\infty][/dispmath] U Mirkovom rešenju, najpre, u oba korena, podeli se brojilac imeniocem, posle čega se uvede smena [inlmath]t=\frac{4}{x}[/inlmath], nakon čega se vrlo jednostavnim računom dobija [inlmath]x_1=4\;[/inlmath] i [inlmath]\;x_2=-\frac{4}{3}[/inlmath].

Ja nisam uvodio smenu, već sam jednostavno pomnožio celu jednačinu sa [inlmath]\sqrt{x}[/inlmath].
Kako nakon množenja dobijamo
[dispmath]\sqrt{x-4}+\sqrt{3x+4}=2\sqrt{x}[/dispmath] neophodan je uslov [inlmath]x\geq4[/inlmath], zbog čega se na samom kraju odbacuje [inlmath]x_2=-\frac{4}{3}[/inlmath].

Moje pitanje je, da li ovde negde postoji bilo kakva implikacija, zbog koje bi dobijena rešenja morala da se uvrste u polaznu jednačinu i proveri da li su ujedno ona i konačna rešenja i ako ne, gde je greška?

Još jednom bih se izvinio ako ovaj zadatak negde već postoji, ja sam baš tražio po internetu, ali nisam znao kako da ga "ukucam".
Takođe, zadatak se nalazi u četvrtoj oblasti pod nazivom "Kvadratne jednačine, ..." i to je, konkretno, 65. zadatak

Hvala unapred, dobri ljudi.

Pozdrav, dobro došao na forum! Sve pohvale za sjajno postavljeno pitanje.

Imaš grešku u ovom koraku:

iYzee17 je napisao:Ja nisam uvodio smenu, već sam jednostavno pomnožio celu jednačinu sa [inlmath]\sqrt{x}[/inlmath].

To bi smelo da se radi isključivo kad bismo imali uslov da je [inlmath]x>0[/inlmath]. Međutim, u slučaju da je [inlmath]x<0[/inlmath], delili bismo obe strane nedefinisanom vrednošću.

Po rešenju u zbirci, kada se i brojilac i imenilac potkorene veličine dele sa [inlmath]x[/inlmath], do tog problema ne dolazi, jer ako i brojilac i imenilac delimo veličinom istog znaka, tada ne dolazi do promene znaka razlomka.

Pozdrav, Daniele, i po ko zna koji put hvala za rešavanje mnogih mojih nedoumica.

Kao što je napisao Daniel, ne može opšti slučaj, već bi moralo da se razgraničava na deo kada je [inlmath]x>0[/inlmath], kao i deo kada je [inlmath]x<0[/inlmath].
Slučaj [inlmath]x=0[/inlmath], razume se, ne gledamo.

U prvom slučaju, zadatak bi se uradio na način koji sam ja priložio, odnosno množenjem cele jednačine sa [inlmath]\sqrt{x}[/inlmath].
U drugom slučaju, cela jednačina bi morala da se pomnoži sa [inlmath]\sqrt{-x}[/inlmath], iz razloga kojeg je Daniel objasnio.
Na kraju, u oba slučaja, dobije se ista kvadratna jednačina, s tim što će u prvom slučaju, zbog uslova, biti prihvaćeno samo [inlmath]x_1=4[/inlmath], a u drugom [inlmath]x_2=-\frac{4}{3}[/inlmath].

Još jednom, veliko hvala!