MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF – 17. jun 2020.
8. zadatak

Zadatak ide ovako: Skup svih rešenja nejednačine [inlmath]2^x\cdot3^\frac{1}{x}\ge6[/inlmath] jeste? Ponuđeni odgovori su:
[inlmath]\text{A)}\;(0,1]\cup[\log_23,+\infty)\quad[/inlmath] [inlmath]\text{B)}\;[1,\log_23]\quad[/inlmath] [inlmath]\text{C)}\;(-\infty,0)\cup[1,\log_23]\quad[/inlmath] [inlmath]\text{D)}\;[\log_23,+\infty)\quad[/inlmath] [inlmath]\text{E)}\;(-\infty,0)\cup[\log_23,+\infty)[/inlmath]

Nisam siguran kako bih ga uradio. Pa ako može pomoć

Radi lakseg snalazenja mozes uvesti smene [inlmath]2^x=t[/inlmath] i [inlmath]3^\frac{1}{x}=k[/inlmath]. Potom primeni osobinu [inlmath]a^{\log_ab}=b[/inlmath]. Kada ovo uradis, resavas obicnu eksponencijalnu nejednacinu.
Mislim da ce ti ove smernice biti dovoljne da uradis zadatak, ali ako negde zapne, slobodno reci, tu smo.

Nisam siguran gde da primenim [inlmath]a^{\log_ab}=b[/inlmath]. Pokušao sam ovako nešto:
[dispmath]2^{\log_22\cdot x}=t[/dispmath][dispmath]2x=t[/dispmath] ali kada tako uradim i za [inlmath]k[/inlmath] i stavim u jednačinu, [inlmath]x[/inlmath] mi se skrati, znači nešto loše radim

[dispmath]6^{\log_6t}\cdot6^{\log_6k}\ge6\\
6^{\log_6t+\log_6k}\ge6\\
6^{\log_6t\cdot k}\ge6\\
\vdots[/dispmath] Ne zaboravi uslove definisanosti logaritamske funkcije, [inlmath]t>0[/inlmath], [inlmath]k >0[/inlmath]. Dalje bi trebalo da mozes sam.

Ja zaista, @Frank, nisam razumeo tvoje rešenje. No, nema veze, pokazao bih svoj način, za koji mislim da je lakši.
Budući da u svakom od ponuđenih odgovora figuriše [inlmath]\log_23[/inlmath], to nam nekako sugeriše da treba obe strane logaritmovati za osnovu [inlmath]2[/inlmath]. Nakon primena par logaritamskih pravila, doći ćemo do nejednačine
[dispmath]x+\frac{1}{x}\log_23\ge1+\log_23[/dispmath] koju možemo svesti na kvadratnu po [inlmath]x[/inlmath], množenjem obe strane sa [inlmath]x[/inlmath] (pri čemu treba odvojeno razmatrati slučajeve [inlmath]x>0[/inlmath] i [inlmath]x<0[/inlmath], budući da se u ovom drugom menja smer znaka nejednakosti).

Daniel je napisao:Ja zaista, @Frank, nisam razumeo tvoje rešenje

U pravu si. Nacin na koji sam krenuo zaista ne vodi do konacnog resenja jer se, takoreci, vracamo na pocetak... Izvinjavam se.

Daniel je napisao:Ja zaista, @Frank, nisam razumeo tvoje rešenje.

Nisam ni ja prvobitno pa sam malo uz pomoć druga uspeo da uradim.
[dispmath]\log_62^x+\log_63^\frac{1}{x}\geq1[/dispmath][dispmath]x\log_62+\frac{1}{x}\log_63\geq1[/dispmath][dispmath]x\log_62+\frac{1}{x}(\log_66-\log_62)\geq1[/dispmath][dispmath]x\log_62+\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\log_62\geq1[/dispmath][dispmath]\log_62\left(x-\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{x}-1\geq0[/dispmath][dispmath]\frac{1}{1+\log_23}\cdot\frac{x^2-1}{x}+\frac{1}{x}-1\geq0[/dispmath][dispmath]\frac{x^2\cancel{+1}\cancel{-1}+\log_23-x-x\log_23}{x\left(1+\log_23\right)}\geq0[/dispmath][dispmath]\frac{x(x-\log_23)-(x-\log_23)}{x(1+\log_23)}\geq0[/dispmath][dispmath]\frac{(x-1)(x-\log_23)}{x(1+\log_23)}\geq0[/dispmath] To se uradi i dobije se: [inlmath](0,1]\cup(\log_23,+\infty)[/inlmath]
Nisam siguran da li je ispravno rešenje, tako da ako neko može da potvrdi

Možda malo više posla nego što je potrebno, ali, da, ispravan je postupak.