MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF – 17. jun 2020.
11. zadatak

11. Broj celobrojnih rešenja nejednačine [inlmath]\displaystyle\sqrt{\frac{x}{x^2-4}}+\sqrt{25-x^2}\ge0[/inlmath] jeste:
[inlmath]A)\;4;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;5;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;7;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;11;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;[/inlmath]beskonačno mnogo.
Za rešenje nisam sigurna (trebalo bi da je [inlmath]5[/inlmath]) ali ja nikako ne mogu da dovedem ovaj zadatak do kraja. [inlmath]\sqrt{25-x^2}[/inlmath] prebacim na drugu stranu, zatim kvadratiram da izgubim korene, onda podvedem sve na zajednički imenilac što je [inlmath]x^2-4[/inlmath], i dobijem ovo:
[dispmath]\frac{x^4-29x^2+x+100}{x^2-4}\ge0[/dispmath] Dakle treba brojilac da mi bude jednak nuli, ali taj polinom ne znam da podelim Bezuovim stavom niti nekako da ga rastavim na činioce.
Da li postoji neki drugi način za rešavanje ovakvih zadataka ili jednostavno neki način da se zaobiđe ova prepreka?
Izvinjavam se zbog Latex-a, prvi put ga koristim...

Pozdrav, pokusaj ovako
Prvo odredi domen
[dispmath]x^2-4\ne0\\
\frac{x}{x^2-4}\geq0\\
25-x^2\geq0[/dispmath] Kada uzmes u obzire sve ove slucaje, domen treba da pripada
[dispmath]x\in\left(-2,0\right]\cup\left(2,5\right][/dispmath] S obzirom na to da ova nejednacina uvijek pozitivna ili [inlmath]0[/inlmath], tvrdnja vrijedi za svaki [inlmath]x[/inlmath], rjesenje ti je ujedno i domen.

Tako elegantno rešenje, sad deluje tako očigledno. Hvala ti puno na brzom odgovoru

Petra1511 je napisao:[inlmath]\sqrt{25-x^2}[/inlmath] prebacim na drugu stranu, zatim kvadratiram da izgubim korene,

U tom postupku ti se očigledno potkrala greška, jer kad bismo i krenuli da radimo na taj način, došli bismo do
[dispmath]\sqrt{\frac{x}{x^2-4}}\ge-\sqrt{25-x^2}[/dispmath] Međutim, pošto se kvadriranjem gubi informacija o znaku, pre kvadriranja se mora diskutovati nejednačina uzimajući u obzir predznak leve i desne strane. Pošto je desna strana negativna ili nula, a leva je pozitivna ili nula, odavde vidimo da je leva strana uvek veća ili jednaka od desne strane, tj. da je nejednačina zadovoljena za svako [inlmath]x[/inlmath] (naravno, podrazumeva se da je prethodno određena oblast definisanosti jednačine).
I tu se završava postupak.
Tvoja je greška bila što si sad to kvadrirala, jer si time desnu stranu množila negativnom vrednošću. Zamisli ovakav primer: [inlmath]2>-3[/inlmath]. Ta nejednakost je tačna. Međutim, ako bismo sad to kvadrirali (što je big no-no u ovakvim slučajevima), dobili bismo šta? [inlmath]4>9[/inlmath]. Očigledno netačno. E isto to se desilo i u tvom postupku.

Srdjan01 je napisao:S obzirom na to da ova nejednacina uvijek pozitivna ili [inlmath]0[/inlmath], tvrdnja vrijedi za svaki [inlmath]x[/inlmath], rjesenje ti je ujedno i domen.

Upravo tako, samo da budemo precizni, ne može nejednačina da bude pozitivna ili nula, već je leva strana nejednačine uvek pozitivna ili nula.