MATEMANIJA

Probni prijemni ispit ETF – 20. jun 2020.
12. zadatak

Pozdrav,

potrebna mi je pomoc oko ovog zadatka sa probnog prijemnog.

Proizvod svih realnih rešenja jednačine [inlmath]\left(\sqrt{4+2\sqrt3}\right)^x+\left(\sqrt{4-2\sqrt3}\right)^x=4\left(\sqrt2\right)^x[/inlmath] jeste:

Resenje: [inlmath]A)\;-4[/inlmath]

Neka moja ideja je bila da najpre izraz ispod korena napisem kao kvadrat binoma, kako bi izgubio koren, a da zatim racionalisem drugi sabirak. Medjutim kad dodjem do koraka

[inlmath]\left(4+2\sqrt[2]3\right)^{2x}- 4\left(\sqrt2\right)^x\left(4+2\sqrt[2]3\right)^x+4^x=0[/inlmath] ne vidim sta dalje .


Hvala unapred!

Pocetna ideja ti je sasvim dobra. Data jednacina je ekvivalentna jednacini
[dispmath]\left(\sqrt3+1\right)^x+\left(\sqrt3-1\right)^x=4\left(\sqrt2\right)^x[/dispmath] Sad podeli i levu i desnu stranu sa [inlmath]\left(\sqrt2\right)^x[/inlmath], pa racionalisi razlomke, pa onda pogledaj ovu temu.
Slobodno pitaj ako bude bilo nekih nejasnoca.

Uspeo sam da resim. Hvala puno jos jednom!

Nema na čemu!

Nema potrebe potkorene veličine nameštati na kvadrate binoma. Dovoljno je u samom startu zadatu jednačinu podeliti sa [inlmath]\left(\sqrt2\right)^x[/inlmath], čime dobijamo
[dispmath]\left(\sqrt{2+\sqrt3}\right)^x+\left(\sqrt{2-\sqrt3}\right)^x=4[/dispmath] što je identično jednačini iz zadatka na koji je Frank linkovao.

Jel moze jos neko objasnjenje, ne razumem sta dalje kad uvedem smenu, na sta se sve to onda svede kad uvedes smenu?

[dispmath]t+\frac{1}{t}=4[/dispmath][dispmath]t^2-4t+1=0[/dispmath]

Sta posle smene, kada uradim kvad. jednacinu dobijem [inlmath]x=2\pm\sqrt3[/inlmath], i kada vratim smenu ne znam kako bih uradio...

Kao prvo, počni da koristiš LaTex, nisi više nov. Ovo je poslednji put da ti ispravljam ili odgovaram na post bez LaTex-a. Imaš uputstvo, imaš Potforum, tu smo svi za pomoć. Ali, počni da ga koristiš.

Kao drugo, [inlmath]t=2\pm\sqrt3[/inlmath], a ne [inlmath]x[/inlmath].

Sad uzmeš jedno rešenje, recimo sa plusom i zameniš ga tamo gde si uveo smenu:
[dispmath]\left(\sqrt{2+\sqrt3}\right)^x=2+\sqrt3[/dispmath] Za koju vrednost [inlmath]x[/inlmath] je ova jednačina tačna? Onda uradiš isto to za rešenje sa minusom, i rešio si zadatak.