MATEMANIJA

Probni prijemni ispit ETF – 20. jun 2020.
11. zadatak

Zdravo moze li neko da mi pomogne sa 11. zadatkom sa probnog testa ETF 2020?
Zbir svih realnih rešenja jednačine [inlmath]\sqrt{\log_{10}(−x−1)}=\log_{10}\sqrt{x^2+2x+1}[/inlmath] jeste:
[inlmath](A)\;−13\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;−11\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;−10\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;−2\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;2\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;[/inlmath]Ne znam

Tacan odgovor je pod [inlmath]-13[/inlmath]. Pokusala sam da uradim na sledeci nacin:
1. [inlmath]\left(x^2+2x+1\right)=(x+1)^2[/inlmath] i zatim skratim sa korijenom i dobijem apsolutnu vrijednost
2. kvadriram citav izraz, lijeva strana se oslobodi korijena, a desne dobijelom [inlmath]\log_{10}^2|x+2|[/inlmath]
i kada sve to sredim dobijem rezultat [inlmath]-11[/inlmath], a rjesenje je jos i [inlmath]-2[/inlmath], provjerila sam uvrstavanjem u jednacinu. Hvala unaprijed!

[dispmath]\log_{10}(-x-1)=t\\
t^2-t=0\\
t=0\hspace{2mm}\vee\hspace{2mm}t=1\\
-x-1=1\;\Longrightarrow\;x=-2\\
-x-1=10\;\Longrightarrow\;x=-11[/dispmath]

andjela09 je napisao:1. [inlmath]\left(x^2+2x+1\right)=(x+1)^2[/inlmath] i zatim skratim sa korijenom i dobijem apsolutnu vrijednost

Apsolutne vrednosti se odmah možeš osloboditi s obzirom na uslov definisanosti jednačine. Zbog logaritma na levoj strani mora biti [inlmath]-x-1>0[/inlmath], tj. [inlmath]x+1<0[/inlmath], što znači da je [inlmath]|x+1|=-x-1[/inlmath].

andjela09 je napisao:2. kvadriram citav izraz, lijeva strana se oslobodi korijena, a desne dobijelom [inlmath]\log_{10}^2|x+{\color{red}2}|[/inlmath]

Treba [inlmath]\log_{10}^2|x+{\color{red}1}|[/inlmath], verovatno je greška u kucanju. Naravno, pošto se kvadrirajem gubi informacija o znaku leve i desne strane, potrebno je pre kvadriranja postaviti odgovarajuće uslove.

andjela09 je napisao:i kada sve to sredim dobijem rezultat [inlmath]-11[/inlmath], a rjesenje je jos i [inlmath]-2[/inlmath], provjerila sam uvrstavanjem u jednacinu.

Negde ti se izgubilo rešenje [inlmath]-2[/inlmath], ali ne možemo znati gde tačno jer nisi priložila taj deo postupka.

Imam jedno pitanje vezano za ovaj zadatak. Zbunio sam se malo dok sam citao ovo. Jasno mi je da moramo da kvadriramo obe strane, kako bi smo dosli do resenja. Nije mi jasno sada za smenu, kako smo uveli istu smenu za oba logaritma, posto kod jednog imamo [inlmath]-x-1[/inlmath], a kod drugog [inlmath]x+1[/inlmath]. Jasno mi je kako se sklonila apsolutna, jer smo na pocetku postavili sve potrebne uslove. Ako moze pojasnjenje za to, zbunio sam se skroz nesto. Hvala unapred.

Evo ovako:
[dispmath]\log_{10}\sqrt{x^2+2x+1}=\log_{10}\sqrt{(x+1)^2}=\log_{10}\sqrt{(-x-1)^2}=\log_{10}{|-x-1|}[/dispmath] Zbog uslova koji je potrebno postaviti da bi leva strana jednacine bila definisana apsolutne zagrade na desnoj strani se mogu komotno izostaviti.

Da pokušam da dodatno pojasnim:
[dispmath]\log_{10}\sqrt{x^2+2x+1}=\log_{10}\sqrt{(x+1)^2}=\log_{10}|x+1|\,\overset{\text{def}}{=\!=}\,\begin{cases}
\log_{10}(x+1), & x+1\ge0\\
\log_{10}(-x-1), & x+1<0
\end{cases}[/dispmath] a pošto smo iz uslova definisanosti leve strane zaključili da mora biti [inlmath]x+1<0[/inlmath], to za [inlmath]\log_{10}\sqrt{x^2+2x+1}[/inlmath] ostaje samo da je jednak [inlmath]\log_{10}(-x-1)[/inlmath].

E sada mi je potpuno jasno. Hvala lepo na pojasnjenju.