MATEMANIJA

Drugi probni prijemni ispit FON – 25. jun 2020.
10. zadatak

Skup svih rešenja nejednačine [inlmath]36\cdot4^{x-1}+45\cdot2^x\cdot3^{x-2}\ge4\cdot9^x[/inlmath] je podskup skupa:
Rešenje je: [inlmath](-\infty,3)[/inlmath]
[dispmath]36\cdot4^{x-1}+45\cdot2^x\cdot3^{x-2}\ge4\cdot9^x[/dispmath][dispmath]36\cdot4^x\cdot\frac{1}{4}+45\cdot2^x\cdot3^x\cdot\frac{1}{9}\ge4\cdot9^x[/dispmath][dispmath]9\cdot4^x+5\cdot2^x\cdot3^x\ge4\cdot9^x[/dispmath][dispmath]9\cdot\left(\frac{4}{9}\right)^x+5\left(\frac{6}{9}\right)^x\ge4[/dispmath][dispmath]9\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}+5\left(\frac{2}{3}\right)^x\ge4[/dispmath] Ovde sam uveo smenu [inlmath]\left(\frac{2}{3}\right)^x=t[/inlmath]
I kada resim kvadratnu jednacinu dobijem resenje [inlmath]t=-1[/inlmath] i [inlmath]t=\frac{4}{9}[/inlmath], prvo odbacujem jer je kvadrat nekog broja uvek pozitivan, a od drugog resenja dobijem da je [inlmath]x=2[/inlmath], ali ne znam kako od toga da napravim skup resenja. Moze neka pomoc?

Rešenje nejednačine [inlmath]9t^2+5t-4\ge0[/inlmath] je [inlmath]t\in\left(-\infty,-1\right]\cup\left[\frac{4}{9},+\infty\right)[/inlmath]. Kako [inlmath]t[/inlmath] mora biti pozitivno interval [inlmath]\left(-\infty,-1\right][/inlmath] otpada, prema tome potrebno je rešiti nejednačinu [inlmath]\left(\frac{2}{3}\right)^x\ge\frac{4}{9}[/inlmath].

Hvala puno