MATEMANIJA

Pozdrav,
Imam nedoumicu oko zadatka (Fonova zbirka);
Sistem jednačina [inlmath]3^x-2^{y^2}=77[/inlmath] i [inlmath]3^\frac{x}{2}-2^\frac{y^2}{2}=7[/inlmath] ima;
Tačan odgovor je [inlmath]2[/inlmath] realna rešenja, ali valjda ih ima [inlmath]3[/inlmath]?

Ovako sam je bio rešavao;
stavio sam smenu da je [inlmath]3^x=a[/inlmath] i da je [inlmath]2^{y^2}=b[/inlmath]

Onda se dobija j-na ovakvog oblika:
[dispmath]a^2-b^2=77\\
a-b=7[/dispmath] Iz [inlmath]a-b=7[/inlmath] sam izrazio [inlmath]a[/inlmath], tj. [inlmath]a=7+b[/inlmath]

Posle sam dobio da mi je [inlmath]b=2[/inlmath] tj. da mi je [inlmath]y=\pm1[/inlmath] i da mi je [inlmath]a=9[/inlmath] tj da mi je [inlmath]x=2[/inlmath] i to su valjda ukupno [inlmath]3[/inlmath] rešenja, a ne [inlmath]2[/inlmath]?

[dispmath]\begin{cases}
3^x-2^{y^2}=77\\
3^\frac{x}{2}-2^\frac{y^2}{2}=7
\end{cases}[/dispmath][dispmath]\begin{cases}
\left(3^\frac{x}{2}-2^\frac{y^2}{2}\right)\left(3^\frac{x}{2}+2^\frac{y^2}{2}\right)=77\\
3^\frac{x}{2}-2^\frac{y^2}{2}=7
\end{cases}[/dispmath][dispmath]\begin{cases}
3^\frac{x}{2}+2^\frac{y^2}{2}=11\\
3^\frac{x}{2}-2^\frac{y^2}{2}=7
\end{cases}[/dispmath][dispmath]2\cdot3^\frac{x}{2}=18[/dispmath][dispmath]3^\frac{x}{2}=3^2[/dispmath][dispmath]\frac{x}{2}=2[/dispmath][dispmath]x=4[/dispmath][dispmath]9+2^\frac{y^2}{2}=11[/dispmath][dispmath]2^\frac{y^2}{2}=2^1[/dispmath][dispmath]\frac{y^2}{2}=1[/dispmath][dispmath]y^2=2[/dispmath][dispmath]y_{1/2}=\pm\sqrt2[/dispmath][dispmath]\left(x_1,y_1\right)=\left(4,\sqrt2\right)[/dispmath][dispmath]\left(x_2,y_2\right)=\left(4,-\sqrt2\right)[/dispmath]

Hvala puno na izdvojenom vremenu.
Zanimljiv način za rešavanje ovakvih zadataka, a u međuvremenu sam primetio da sam loše postavio smenu.
Trebalo je staviti da je [inlmath]3^\frac{x}{2}=a[/inlmath] i da je [inlmath]2^\frac{y^2}{2}=b[/inlmath] a ne obrnuto kako sam ja napisao, i onda dobijam isti rezultat kao što si ti dobio.

@Acim
Kad god nisi siguran oko broja rešenja (ili samih rešenja) za neku jednačinu, uvek ih možeš proveriti jednostavnim uvrštavanjem u početni oblik jednačine.

I, da li je u postavci zadatka ova dvojka suvišna?

Acim je napisao:[inlmath]3^x-2^{{\color{red}2}y^2}=77[/inlmath]

Važi, hvala.
Jeste suvišna, vrvt sam u brzini kucanja greškom stavio.

OK, ispravio sam.

Proverio sam bio i sva rešenja valjaju, ali opet zbog čega u zbirci kaže da ima 2 rešenja kada ih ima 3, ili se to kod sistema j-na gleda kao 2 rešenja. Pretpostavljam da je zbog toga.

Rešenja ovog sistema su uređeni parovi [inlmath](x,y)[/inlmath].
Prvo rešenje je [inlmath](x_1,y_1)=\left(4,\sqrt2\right)[/inlmath].
Drugo rešenje je [inlmath](x_2,y_2)=\left(4,-\sqrt2\right)[/inlmath].
Treće rešenje ne postoji.

Hvala puno!