MATEMANIJA

Pozdrav,
Zapeo sam kod jedne logaritamske j-ne, koja je siguran sam laka, ali nikako nisam uspevao da nađem adekvatnu smenu;
Jednačina glasi:
[dispmath]x^{3-\log_{10}\left(\frac{x}{3}\right)}=900[/dispmath] čija su rešenja [inlmath]30[/inlmath] i [inlmath]100[/inlmath].

E sad, ja sam nju krenuo da rešavam ovako;
Prvo sam logaritmovao sa osnovom [inlmath]10[/inlmath] i dobio
[dispmath]\log x\left(3-\log\frac{x}{3}\right)=\log_{10}\left(900\right)[/dispmath] Kad se malo sredi;
[dispmath]3\log x-\left(\log x-\log3\right)\log x=2\log3+2\\
3\log x-\log^2x+\log3\log x=2\log3+2[/dispmath] Sve vuče ka tome da smena bude [inlmath]t=\log x[/inlmath] ali problem mi pravi [inlmath]\log3[/inlmath], ne znam kako da to eliminišem.Nemam ideju gde bi mogla greška da mi bude.

Acim je napisao:[dispmath]3\log x-\log^2x+\log3\log x=2\log3+2[/dispmath]

Dovde ti je sve dobro. Sad uzmeš i sve prebaciš na jednu stranu, a potom faktorišeš jednačinu...

[dispmath]3\log x-\log^2x+\log3\log x-2\log3-2=0\\
2\log x-\log^2x+\log3\log x-2\log3+\log x-2=0\\
-\log x(\log x-2)+\log3(\log x-2)+\log x-2=0\\
(-\log x+\log3+1)(\log x-2)=0\\
-\log x+\log30=0\;\lor\;\log x-2=0\\
\log x=\log30\;\lor\;\log x=2\\
x=30\;\lor\;x=100[/dispmath]

Hvala puno, veoma elegantan način za rešavanje, nije mi odmah na pamet palo faktorisanje činilaca.