MATEMANIJA

Prvi probni prijemni ispit FON – 9. jun 2018.
10. zadatak

Skup svih rešenja nejednačine [inlmath]\sqrt{5-4x-x^2}\ge-2x-1[/inlmath] je [inlmath][-2,1][/inlmath]?

Ovde se u skoro svakom sledecem redu menja znak jednakosti, ne znam kako da resim ovo niti da postavim uslove.

Ako moze neka pomoc oko toga kako da se otarasim svih ovih minusa i postavim uslove.

Hint: [inlmath]\sqrt{P(x)}\ge Q(x)[/inlmath] je ekvivalentno sa [inlmath]\left(P(x)\ge0\;\land\;Q(x)<0\right)\;\lor\;\left(P(x)\ge Q^2(x)\;\land\;Q(x)\ge0\right)[/inlmath]

Dobijam ovo: [inlmath]\displaystyle x\in\left[-2,\frac{2}{5}\right]\cup\left(\frac{1}{2},1\right][/inlmath].

[dispmath]\sqrt{5-4x-x^2}\ge-2x-1[/dispmath][dispmath]P(x)=5-4x-x^2\\
Q(x)=-2x-1[/dispmath][dispmath]P(x)\ge 0\quad\land\quad Q(x)<0\\
5-4x-x^2\ge0\qquad\land\qquad-2x-1<0\\
x\in\Big[-5,1\Big]\qquad\land\qquad x\in\Big(\frac{-1}{2},\infty\Big)\\
\underline{\enspace x\in\Big(\frac{-1}{2},1\Big]\enspace}[/dispmath][dispmath]P(x)\ge Q^2(x)\quad\land\quad Q(x)\ge0\\
5-4x-x^2\ge(-2x-1)^2\qquad\land\qquad-2x-1\ge0\\
x\in\Big[-2,\frac{2}{5}\Big]\qquad\land\qquad x\in\Big(-\infty,\frac{-1}{2}\Big]\\
\underline{\enspace x\in\Big[-2,\frac{-1}{2}\Big]\enspace}[/dispmath]
[dispmath]x\in\Big(\frac{-1}{2},1\Big]\quad\lor\quad x\in\Big[-2,\frac{-1}{2}\Big][/dispmath][dispmath]\enclose{box}{x\in\Big[-2,1\Big]}[/dispmath]

Evo ti još jedan bonus način koji ja uvek koristim, možda ima i kraćih, ali po meni jedan od najsigurnijih kako bi se izbegla greška;

Kako je znak [inlmath]\ge[/inlmath], svuda će taj znak i ići na sledeći način;

[inlmath]\sqrt{P\left(x\right)}\ge Q\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]Q\left(x\right)\ge0[/inlmath] i potom kvadriraš.
Kad kvadriraš i dobiješ rešenja nejednačine, ta rešenja "upakuješ" u gore navedene uslove i to bi bio prvi deo zadatka.

Drugi deo jeste da [inlmath]\sqrt{P\left(x\right)}\ge0[/inlmath] i [inlmath]Q\left(x\right)\le0[/inlmath] ali ovog puta bez kvadriranja.
Kad rešiš samo ta 2 uslova iz drugog dela, to spakuješ sa rešenjem iz prvog uslova i dobićeš ispravno rešenje.