MATEMANIJA

Prvi probni prijemni ispit FON – 9. jun 2019.
10. zadatak

Zbir svih celobrojnih rešenja nejednačine [inlmath]\sqrt{2-\sqrt{x+3}}<\sqrt{x+4}[/inlmath] je [inlmath]-2[/inlmath].

Ja uporno dobijam [inlmath]-3[/inlmath].

Jel neko vec resavao ovaj zadatak? Gde bi mogla biti greska?

Moguće da si nešto zeznuo oko uslova pa si dobio pogrešne intervale, a samim tim i celobrojne vrednosti.
Kako ovde imamo više kvadratnih korena, treba da važe sledeći uslovi;
[inlmath]\sqrt{x+3}\ge0[/inlmath], [inlmath]\sqrt{2-\sqrt{x+3}}\ge0[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{x+4}\ge0[/inlmath]
Kad rešiš te uslove, onda tek smeš da kvadriraš i sad u zavisnosti šta dobiješ nakon tog kvadriranja ([inlmath]P(x)[/inlmath], manje/veće od [inlmath]Q(x)[/inlmath]) radiš shodno pravilima za te nejednačine.
Kad ta rešenja spakuješ sa uslovom, trebalo bi da dobiješ tačno rešenje. Btw nisam rešavao tu nejednačinu još uvek, ali se nadam da će ti biti korisni saveti pri rešavanju iste.
Ako negde zapne u postupku, tu smo

Prvi uslov bi bio [inlmath]x\in[-3,1][/inlmath]

Nakon kvadraranja dobićeš
[dispmath]2-\sqrt{x+3}<x+4[/dispmath][dispmath]\sqrt{x+3}>-x-2[/dispmath][dispmath]\left(\sqrt{x+3}>-x-2\;\land\;-x-2\ge0\right)\;\lor\;(x+3\ge0\;\land\;-x-2<0)[/dispmath] Konačno treba da dobiješ [inlmath]x\in\left(\frac{-3-\sqrt5}{2},1\right][/inlmath], pa će zbir celobrojnih rešenja biti [inlmath]-2[/inlmath].

Vivienne je napisao:Prvi uslov bi bio [inlmath]x\in[-3,1][/inlmath]

Ne moramo ni da rešavamo nejednačinu. Dovoljno je da svaki (ceo) broj iz oblasti definisanosti uvrstimo u početnu nejednačinu i utvrdimo za koju će vrednost (vrednosti) [inlmath]x[/inlmath]-a ista biti zadovoljena.

Acim je napisao:[inlmath]\sqrt{x+3}\ge0[/inlmath], [inlmath]\sqrt{2-\sqrt{x+3}}\ge0[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{x+4}\ge0[/inlmath]

Verovatno si mislio na uslove [inlmath]x+3\ge0[/inlmath], [inlmath]2-\sqrt{x+3}\ge0[/inlmath] i [inlmath]x+4\ge0[/inlmath], tj. ne trebaju ti koreni (uslovi nenegativnosti potkorenih veličina).
Sami kvadratni koreni su svakako nenegativni (onda kad su definisani).

Vivienne je napisao:[dispmath]\sqrt{x+3}>-x-2[/dispmath][dispmath]\left(\sqrt{x+3}>-x-2\;\land\;-x-2\ge0\right)\;\lor\;({\color{red}x+3\ge0}\;\land\;-x-2<0)[/dispmath]

Crveni uslov je suvišan, budući da je već postavljen na samom početku zadatka, tj, već je postavljen uslov da su koreni definisani.

Frank je napisao:Ne moramo ni da rešavamo nejednačinu. Dovoljno je da svaki (ceo) broj iz oblasti definisanosti uvrstimo u početnu nejednačinu i utvrdimo za koju će vrednost (vrednosti) [inlmath]x[/inlmath]-a ista biti zadovoljena.

Nije zgoreg ipak znati za ceo ovaj postupak. Šta da smo, recimo, u nekom sličnom zadatku za oblast definisanosti dobili [inlmath][-100,100][/inlmath]?

buca je napisao:Jel neko vec resavao ovaj zadatak? Gde bi mogla biti greska?

Ako već od forumaša očekuješ da ti kažu gde bi mogla biti greška u tvom postupku, valjda je onda logično i da priložiš taj svoj postupak (kao što, ne bez razloga, izričito i kaže tačka 6. Pravilnika).

Da, da, na to sam mislio, nego po navici slučajno stavio

[inlmath]x+4\ge0\quad x+3\ge0\quad2-\sqrt{x+3}\ge0[/inlmath] - To je [inlmath]x\in[-3,1][/inlmath]
[inlmath]\sqrt{2-\sqrt{x+3}}<\sqrt{x+4}[/inlmath]
[inlmath]\sqrt{x+3}>x+2[/inlmath]
[inlmath]x^2+3x+1<0[/inlmath]
[inlmath]\displaystyle\frac{-3-\sqrt5}{2}\approx-2.6\quad\frac{-3+\sqrt5}{2}\approx-0.4[/inlmath]
[inlmath]x\in(-2.6,-0.4)[/inlmath] i na kraju [inlmath]-2-1=-3[/inlmath]
To je moj postupak.

E tako, sad možemo da prokomentarišemo.
Rešenje ti je slučajno ispalo tačno, jer postupak nije dobar.

buca je napisao:[inlmath]\sqrt{2-\sqrt{x+3}}<\sqrt{x+4}[/inlmath]
[inlmath]\sqrt{x+3}>{\color{red}x+2}[/inlmath]

Iz [inlmath]\sqrt{2-\sqrt{x+3}}<\sqrt{x+4}[/inlmath] treba da se dobije [inlmath]\sqrt{x+3}>{\color{red}-x-2}[/inlmath]. A zatim posmatraš slučajeve onako kako su ti prethodnici pokazali.

A da se kojim slučajem i dobilo to što si napisao, [inlmath]\sqrt{x+3}>x+2[/inlmath], tada bi i [inlmath]x=-3[/inlmath] spadalo u moguća celobrojna rešenja (u šta se i možeš uveriti uvrštavanjem). Rešenje [inlmath]x=-3[/inlmath] svojim postupkom nisi dobio, jer si jednostavno kvadrirao obe strane, ali nisi razmatrao slučaj da je desna strana manja od nule, kada bi nejednačina takođe bila zadovoljena (jer je leva strana [inlmath]\ge0[/inlmath]).
Naravno, da ne bude zabune, [inlmath]x=-3[/inlmath] ne spada u rešenja originalno postavljenog zadatka, to rešenje bi se dobilo samo kada bi nastavio da rešavaš pogrešno dobijenu nejednačinu [inlmath]\sqrt{x+3}>x+2[/inlmath].