MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 28. jun 2011.
5. zadatak

Pozdrav,
Zadatak glasi;
Ako [inlmath]x\in\left(-\infty,-2\right)[/inlmath], onda je izraz [inlmath]\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+4x+4}+5}{x^2-2x+3}+\frac{1}{x^3+1}[/inlmath] identički jednak izrazu;
Tačan odgovor je [inlmath]\displaystyle-\frac{x^2-x}{x^3+1}[/inlmath]

Deo [inlmath]\sqrt{x^2+4x+4}[/inlmath] je [inlmath]\left(x+2\right)^2[/inlmath] i kako je potkoreni izraz uvek pozitivan, nema menjanja znaka (ako ne grešim) iako je uslov da [inlmath]x[/inlmath] pripada negativnom intervalu.

Potom dobijam [inlmath]\displaystyle\frac{x+7}{x^2-2x+3}+\frac{1}{x^3+1}[/inlmath]
[dispmath]\frac{x^4+7x^3+x^2-x+10}{\left(x^2-2x+3\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}[/dispmath] Brojilac sam pokušao da rastavim primenom bezuovog stava ali tu nisam postigao nikakav efekat. Probao sam sa [inlmath]1,-1,2,-2[/inlmath] i nijedan od njih nije davao [inlmath]0[/inlmath].
Hvala unapred na sugestiji.

Zadatak glasi:
[dispmath]\frac{\sqrt{x^2+4x+4}+5}{x^2-2x{\color{red}-}3}+\frac{1}{x^3+1}[/dispmath] i [inlmath]\sqrt{x^2+4x+4}=\sqrt{(x+2)^2}=|x+2|[/inlmath]

Aha, to sad već menja celu situaciju, vrvt je štamparska greška.
Samo još kod dela [inlmath]\left|x+2\right|[/inlmath] da li bi to i dalje ostalo [inlmath]x+2[/inlmath] jer čak i da je [inlmath]x[/inlmath] u negativnom intervalu taj broj će ostati pozitivan ili će biti [inlmath]-(x+2)[/inlmath]?

[dispmath]|x+2|=\begin{cases}
x+2, & x\in[-2,\infty)\\
-x-2, & x\in(-\infty,-2)
\end{cases}[/dispmath] Sad [inlmath]-2[/inlmath] je moglo i dole da se uključi, ali to ne utiče na znak

Dakle, imamo uslov [inlmath]x\in\left(-\infty,-2\right)[/inlmath], što se drugačije može napisati [inlmath]x<-2[/inlmath].
Kad obema stranama dodamo [inlmath]2[/inlmath] (što ne utiče na znak nejednakosti), taj uslov postaje [inlmath]x+2<0[/inlmath].
I odatle se odmah vidi čemu je jednako [inlmath]|x+2|[/inlmath], ako se ima u vidu definicija apsolutne vrednosti, [inlmath]|x|\overset{\text{def}}{=\!=}\begin{cases} x, & x\ge0\\ -x, & x<0 \end{cases}[/inlmath] (odakle sledi i ovo što je Vivienne napisala).