MATEMANIJA

Odrediti parametar [inlmath]m[/inlmath] pod uslovom da za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath] bude:
[inlmath]2^\circ[/inlmath] [inlmath]mx^2+2(m+2)x+2m+4<0[/inlmath]
Resenje: [inlmath]m\in(-\infty,-2)[/inlmath]

Da li kod ovakvih tipova zadataka treba proveravati slucaj kad je [inlmath]m=0[/inlmath]? Nije receno da je ovo kvadratna nejednacina.

Uslov da grafik kvadratne funkcije [inlmath]f(x)=ax^2+bx+c[/inlmath] bude ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose jeste da istovremeno važi da je [inlmath]a<0[/inlmath] i [inlmath]D<0[/inlmath], gde [inlmath]D[/inlmath] predstavlja diskriminantu.

Da, to znam.
Pitala sam da li treba proveravati uslov [inlmath]a=0[/inlmath] posto u zadatku nije receno da je nejednacina kvadratna.

Za [inlmath]m=0[/inlmath] u nejednacini [inlmath]mx^2+2(m+2)x+2m+4<0[/inlmath] dobijam da je [inlmath]x<-1[/inlmath], pa me to buni.

Ukoliko u zadatku nije naglašeno da je [inlmath]a\neq0[/inlmath] treba proveriti i slučaj kad je [inlmath]a=0[/inlmath]. Konkretno u ovom zadatku taj slučaj otpada jer nejednakost mora da važi za svako [inlmath]x[/inlmath], ali uzmimo na primer nejednakost [inlmath]mx^2+mx-4<0[/inlmath]. Tu bi u rešenje ulazilo i [inlmath]m=0[/inlmath] jer je [inlmath]-4<0[/inlmath].

Hvala!

emi je napisao:Za [inlmath]m=0[/inlmath] u nejednacini [inlmath]mx^2+2(m+2)x+2m+4<0[/inlmath] dobijam da je [inlmath]x<-1[/inlmath], pa me to buni.

U ovom zadatku, zapravo, [inlmath]mx^2+2(m+2)x+2m+4<0[/inlmath] nije nejednačina. To bi bila nejednačina kada bi se tražilo da odredimo skup vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje je nejednakost zadovoljena. Ali, to se ne traži. Traži se vrednost parametra [inlmath]m[/inlmath] za koje nejednakost važi za svako realno [inlmath]x[/inlmath].

Prema tome, kad uvrštavanjem [inlmath]m=0[/inlmath] dobiješ [inlmath]x<-1[/inlmath], da li ta nejednakost važi za svako realno [inlmath]x[/inlmath]? Pa, naravno da ne važi. Dakle, [inlmath]m=0[/inlmath] očigledno ne spada u tražene vrednosti parametra [inlmath]m[/inlmath].

Kada za koeficijent uz kvadratni član stavimo nulu (i, samim tim, eliminišemo kvadratni član), dobijemo linearnu ili konstantnu funkciju. Ako bismo imali linearnu funkciju, takva funkcija bi imala sve realne vrednosti, od [inlmath]-\infty[/inlmath] do [inlmath]+\infty[/inlmath], pa ne bi bio ispunjen uslov da je za svako realno [inlmath]x[/inlmath] vrednost takve funkcije manja od nule. Slučaj konstantne funkcije, koji je pomenuo primus, u ovom zadatku se ne bi mogao desiti, jer kad je u ovom izrazu kvadratni član nula tada linearni član ne može biti nula. Ali, uopšteno, u sličnim zadacima (kao u tom koji je primus naveo) uvek treba i na tu mogućnost obratiti pažnju.