MATEMANIJA

Skup svih vrednosti parametra [inlmath]q\in\mathbb{R}[/inlmath] za koje rastojanje izmedju realnih korena kvadratne jednacine [inlmath]x^2+6x+q=0[/inlmath] vece od [inlmath]4[/inlmath] je:
[dispmath]A)\;(0,6)\quad B)\;(3,+\infty)\quad C)\;(-\infty,5)\quad D)\;(5,+\infty)\quad E)\;(-2, 0][/dispmath] Resenje: [inlmath]C)[/inlmath]

Iskoristila sam podatak da su resenja realna i dobila sam da je [inlmath]q\le9[/inlmath].
Kako da iskoristim podatak da je rastojanje izmedju korena vece od [inlmath]4[/inlmath]?
Hvala unapred!

Evo jednog načina
[dispmath]x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{36-4q}}{2}\\
x_{1,2}=-3\pm\sqrt{9-q}[/dispmath] Rastojanje možemo preko analitičke
[dispmath]d=\sqrt{\left(-3+\sqrt{9-q}+3+\sqrt{9-q}\right)^2}>4[/dispmath] ovde su [inlmath]y[/inlmath] koordinate jednake nuli - rešenja su realna
Kad se ovo malo sredi
[dispmath]9-q>4\\
q<5[/dispmath] (naravno domen ne treba zaboraviti)

Hvala ti!

Samim tim što su koreni realni i što znamo da su imaginarne koordinate jednake nuli, rastojanje realnih korena možemo odmah računati kao apsolutnu vrednost razlike realnih koordinata:
[dispmath]d=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}[/dispmath] a zatim možemo i preko Vietovih veza, ako je nekom tako lakše (ili, možda, interesantnije):
[dispmath]d=\sqrt{x_1^2-2x_1x_2+x_2^2}=\sqrt{x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-4x_1x_2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\cdots[/dispmath] (Naravno, i ovde treba voditi računa o uslovu pozitivnosti diskriminante – i to stroge pozitivnosti, budući da realni koreni moraju biti različiti, jer se traži da je njihovo rastojanje veće od [inlmath]4[/inlmath].)