MATEMANIJA

Prvi probni prijemni ispit FON (druga grupa) – 13. jun 2020.
15. zadatak

Broj svih celobrojnih rešenja nejednačine [inlmath]5^{\log ^2_5x}\le 625[/inlmath] je;
Tačan odgovor je [inlmath]25[/inlmath]

Nejednačina se svodi na oblik [inlmath]\log^2_5x\le3[/inlmath] i odavde sam uveo smenu da mi je [inlmath]\log_5x=t[/inlmath] odakle se dobija kvadratna funkcija po [inlmath]t[/inlmath];
[dispmath]t^2-3\le0[/dispmath] Čiji je skup rešenja [inlmath]\left[-\sqrt3,\sqrt3\right][/inlmath] iz čega sledi;
[inlmath]\log_5x\ge-\sqrt3[/inlmath] i [inlmath]\log_5x\le\sqrt3[/inlmath]
Sve skupa;
[dispmath]x\in\left[\frac{1}{5^\sqrt3},\:5^\sqrt3\right][/dispmath] E sad, imam problem oko određivanja celobrojnih rešenja. Prvo sam mislio da je [inlmath]\frac{1}{5^\sqrt3}[/inlmath] malo više od [inlmath]\frac{1}{5}[/inlmath], jer je [inlmath]\sqrt3[/inlmath] nešto veće od [inlmath]1[/inlmath] i da je [inlmath]5^\sqrt3[/inlmath] nešto više od [inlmath]5[/inlmath] i prema mom načinu dobijam da imamo celobrojnih rešenja [inlmath]6[/inlmath] što je pogrešno. Posle sam na internetu video da je zapravo [inlmath]5^\sqrt3[/inlmath] broj malo veći od [inlmath]16[/inlmath] ali nije mi jasno zbog čega je to tako. Takođe, koji bi bio efikasniji i ispravniji način da odredim vrednost brojeva koji u eksponentu imaju koren?

Imaš grešku na samom početku.
[dispmath]5^3\ne625[/dispmath]

Hvala.

Upravo tako. Ali, kad si već postavio neka pitanja, onda da prokomentarišemo:

Acim je napisao:Prvo sam mislio da je [inlmath]\frac{1}{5^\sqrt3}[/inlmath] malo više od [inlmath]\frac{1}{5}[/inlmath], jer je [inlmath]\sqrt3[/inlmath] nešto veće od [inlmath]1[/inlmath] i da je [inlmath]5^\sqrt3[/inlmath] nešto više od [inlmath]5[/inlmath]

[inlmath]5^\sqrt3[/inlmath] jeste veće od [inlmath]5[/inlmath] i upravo iz toga i sledi da je [inlmath]\frac{1}{5^\sqrt3}[/inlmath] manje od [inlmath]\frac{1}{5}[/inlmath] (recipročne vrednosti međusobno stoje u obrnutom odnosu, isto kao što je [inlmath]2[/inlmath] manje od [inlmath]3[/inlmath] ali je [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] veće od [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath]).

Acim je napisao:Posle sam na internetu video da je zapravo [inlmath]5^\sqrt3[/inlmath] broj malo veći od [inlmath]16[/inlmath] ali nije mi jasno zbog čega je to tako.

To je sasvim logično. Pošto je [inlmath]\sqrt3[/inlmath] između [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], onda je [inlmath]5^\sqrt3[/inlmath] između [inlmath]5^1[/inlmath] i [inlmath]5^2[/inlmath], tj. između [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]25[/inlmath], zar ne? A [inlmath]16[/inlmath] jeste između [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]25[/inlmath].