MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 27. jun 2009.
13. zadatak

Zbir svih celobrojnih rešenja nejednačine [inlmath]\displaystyle\frac{2x^2-1}{x^2-4x-5}\le1[/inlmath] je:
Tačno rešenje je [inlmath]8[/inlmath].

Nakon sređivanja, dobija se;
[dispmath]\frac{x^2+4x+4}{x^2-4x-5}\le0[/dispmath] Brojilac je kvadrat binoma, [inlmath]\left(x+2\right)^2[/inlmath], [inlmath]x=-2[/inlmath]
Nule imenioca su [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath].
Konačan skup rešenja je [inlmath]\left(-1,5\right)[/inlmath] i iz prve sam mislio da mi je zbir celobrojnih rešenja [inlmath]10[/inlmath], što je pogrešno. Pogledao sam još par puta da nije greška u računu, ali nisam našao nijednu. Pogledao sam preko jedne aplikacije rešenje i tu se [inlmath]x=2[/inlmath] računalo rešenje, ali zbog čega se to radi kad taj broj nije u navedenom skupu rešenja?
Da li to onda znači da se svaki broj kome se dozvoljava jednakost sa nulom (u ovom slučaju brojilac) računa kao rešenje iako nije u okviru određenog skupa?

Nejednačina će biti zadovoljena i kada je imenilac pozitivan a brojilac jednak nuli. Ti si razmatrao samo slučaj kada je imenilac negativan.

Jasno. Znači u jednačinama gde stoji [inlmath]\le[/inlmath], [inlmath]\ge[/inlmath] uvek se ubacuje i vrednost brojioca iako nije u skupu rešenja kao što je ovde bio slučaj?

Nisam siguran da razumem šta podrazumevaš pod skupom rešenja i pod "vrednost brojioca". Celobrojna rešenja nejednačine su [inlmath]\{-2,0,1,2,3,4\}[/inlmath] i njihov zbir je [inlmath]8[/inlmath].
U zadatku je potrebno razmatrati dva slučaja - jedan si i sam uradio, a na drugi slučaj sam ti skrenuo pažnju u svom prethodnom postu. Unija ta dva skupa daće konačno rešenje zadatka.
BTW Ako je nejednačina zadovoljena za [inlmath]x=-2[/inlmath] onda je valjda logično da [inlmath]-2[/inlmath] pripada skupu rešenja.

Da ne komplikujem dalje bezveze, skapirao sam zadatak.
Hvala.

@Acime, ako te zbunjuje ovaj postupak, slobodno možeš nejednačinu [inlmath]\displaystyle\frac{x^2+4x+4}{x^2-4x-5}\le0[/inlmath] rastaviti na dva slučaja: [inlmath]\displaystyle\frac{x^2+4x+4}{x^2-4x-5}{\color{red}<}0[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle\frac{x^2+4x+4}{x^2-4x-5}{\color{red}=}0[/inlmath]. Konačno rešenje biće jednako uniji rešenja svakog od ova dva slučaja. Logično?

Dakle, u nejednačini [inlmath]\displaystyle\frac{x^2+4x+4}{x^2-4x-5}{\color{red}<}0[/inlmath] potrebno je da i brojilac i imenilac budu različiti od nule i da budu različitog znaka. Pošto je brojilac kvadrat binoma i samim tim ne može biti negativan (može biti samo pozitivan ili nula), prethodni uslov se svodi na to da je brojilac različit od nule i da je imenilac negativan.

U jednačini [inlmath]\displaystyle\frac{x^2+4x+4}{x^2-4x-5}{\color{red}=}0[/inlmath] dovoljno je da brojilac bude jednak nuli (i, naravno, imenilac različit od nule zbog oblasti definisanosti, što je uslov koji se postavlja u samom startu).