MATEMANIJA

Prijemni ispit GRF – 2. jul 2013.
18. zadatak

Skup svih resenja nejednacine [inlmath]9^{|x-1|}-9^{|x-2|}<8\cdot3^{|x-1|+|x-2|-1}[/inlmath] je:

Ja sam ovde pokusao prvo da sredim eksponencijalnu jednacinu tako sto sam napisao
[dispmath]3^{2|x-1|}-3^{2|x-2|}<8\cdot3^{|x-1|}\cdot3^{|x-2|}\cdot\frac{1}{3}[/dispmath] I tu sam stao, ne znam kako smem da baratam eksponentima kad su u pitanju apsolutne vrednosti... Pomoc

Resenje je [inlmath](-\infty,2)[/inlmath]

U principu, mislim da ti je najlakše da rešavaš kao i svaku (ne)jednačinu u kojim se pojavljuje apsolutna vrednost. Razgranaš [inlmath]|x-1|[/inlmath] na slučaj kada je [inlmath]|x-1|=x-1[/inlmath] i na drugi slučaj kada je [inlmath]|x-1|=-(x-1)[/inlmath]. Uradiš isto to za [inlmath]|x-2|[/inlmath] i onda rešavaš. Mislim da je kod ovog zadatka najbitnija koncentracija da se ne bi pogubio u svim zadatim intervalima u uslovima.

Ovde se može donekle uštedeti vreme ako se ne rade posebno dva slučaja za svaku apsolutnu zagradu, nego ako se uoči da je za [inlmath]|x-1|[/inlmath] kritična vrednost [inlmath]x=1[/inlmath], a za [inlmath]|x-2|[/inlmath] kritična vrednost [inlmath]x=2[/inlmath], tako da ceo zadatak možemo podeliti na tri slučaja:

• [inlmath]x<1\quad\Longrightarrow\quad|x-1|=1-x,\;|x-2|=2-x[/inlmath];
• [inlmath]1\le x<2\quad\Longrightarrow\quad|x-1|=x-1,\;|x-2|=2-x[/inlmath];
• [inlmath]x\ge2\quad\Longrightarrow\quad|x-1|=x-1,\;|x-2|=x-2[/inlmath]