MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 26. jun 2018.
3. zadatak

Zanima me 3. zadatak sa prijemnog:

Vrednost izraza [inlmath]\displaystyle\frac{\sqrt[3]{12+4\sqrt5}\cdot\sqrt[3]{12-4\sqrt5}}{\sqrt[6]{4-2\sqrt3}\cdot\sqrt[3]{4\left(1+\sqrt3\right)}}[/inlmath] je:
Resenje: [inlmath]2[/inlmath]

Vidim da mi je gore razlika kvadrata pa tu dobijam [inlmath]\sqrt[3]{64}[/inlmath], ali u imeniocu sam na kraju dobio [inlmath]\sqrt[3]{3\sqrt3-5}[/inlmath]

Negde sam pogresio ali ne znam gde...

Nema veze, uradio sam ga. Zaboravio sam pravilo da je [inlmath]\sqrt[3]x=\sqrt[6]{x^2}[/inlmath]

Pravilo [inlmath]\sqrt[6]{x^2}=\sqrt[3]x[/inlmath] ne važi uvek. Šta ako je [inlmath]x=-8[/inlmath]?
[dispmath]\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[3]{-8}\\
\sqrt[6]{64}=\sqrt[3]{-8}\\
2=-2[/dispmath] Očigledno da jednakost nije tačna.

Zapravo, jednakost nije tačna za negativne vrednosti [inlmath]x[/inlmath]. Ali, zato jednakost [inlmath]\sqrt[6]{x^2}=\sqrt[3]{|x|}[/inlmath] jeste tačna za sve realne vrednosti [inlmath]x[/inlmath].
U ovom zadatku je vrlo bitno koristiti tu ispravnu formulu, s apsolutnom vrednošću, jer ako bi se koristila [inlmath]\sqrt[6]{x^2}=\sqrt[3]x[/inlmath] koja važi samo za nenegativne [inlmath]x[/inlmath]-ove, tada bi se lako mogao dobiti pogrešan rezultat [inlmath]-2[/inlmath] (a kojeg, da zlo bude gore, čak i ima među ponuđenim odgovorima).