MATEMANIJA

Drugi probni prijemni ispit FON – 20. jun 2021.
6. zadatak

Zbir svih rešenja jednačine [inlmath]25\cdot2^{3x}=29\cdot20^x-4\cdot50^x[/inlmath] pripada intervalu;
Tačan odgovor je [inlmath](1,3][/inlmath]

Zadatak sam rešio, ali sam dobio jedno rešenje, koje mi je delovalo pogrešno, ali, gledajući moj postupak, deluje mi ispravno, ali opet, najbolje da pitam ostale.
Krenuo sam da ga radim ovako;
[dispmath]25\cdot2^{3x}=29\cdot2^{2x}\cdot5^x-4\cdot5^{2x}\cdot2^x[/dispmath] Potom sam podelio sa [inlmath]2^{2x}[/inlmath];
[dispmath]25=29\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^x-4\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^{2x}[/dispmath] Odavde uvodimo smenu; [inlmath]\left(\frac{5}{2}\right)^x=t[/inlmath]
[dispmath]4t^2-29t+25=0[/dispmath] Čija su rešenja [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]\frac{50}{8}[/inlmath]
Vraćanjem u smenu, dobijamo;
[inlmath]\left(\frac{5}{2}\right)^x=1[/inlmath], tj. [inlmath]x=0[/inlmath]
Dok mi je drugo rešenje već bilo sumnjivo, ali sam pokušao sledeće;
Logaritmovao sam izraz sa [inlmath]\frac{5}{2}[/inlmath] i dobio da mi je [inlmath]x=\log_\frac{5}{2}\left(\frac{50}{8}\right)[/inlmath]
Onda sam primenio osobinu razlike 2 logaritma;
[dispmath]\log_\frac{5}{2}\left(50\right)-\log_\frac{5}{2}\left(8\right)[/dispmath] Za [inlmath]\log_\frac{5}{2}\left(50\right)[/inlmath] najbliže rešenje bi bilo [inlmath]4[/inlmath] dok bi za [inlmath]\log_\frac{5}{2}\left(8\right)[/inlmath] najbliže rešenje bilo [inlmath]2[/inlmath], pa prema tome bih dobio [inlmath]4\ldots-2\ldots=2\ldots[/inlmath] i zaista bi po tome pripadalo navedenom intervalu.
Da li bih smeo na ovakav način da rešavam, ili mi se samo posrećilo tačno rešenje?

[dispmath]\frac{50}{8}=\left(\frac{5}{2}\right)^2[/dispmath]

Pozdrav. Izvinjavam se, ali moram da pitam gde se izgubilo ovo [inlmath]\cdot2[/inlmath] kod [inlmath]25[/inlmath] nakon deljenja sa [inlmath]2^{2x}[/inlmath]. Hvala puno.

Acim je napisao:[dispmath]25\cdot2^{3x}=29\cdot2^{2x}\cdot5^x-4\cdot5^{2x}\cdot2^x[/dispmath] Potom sam podelio sa [inlmath]2^{2x}[/inlmath];
[dispmath]25=29\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^x-4\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^{2x}[/dispmath]

P.S novi sam na forumu, pa se možda neću odmah snaći dobro sa LaTexom. Ali, uz vežbu se može sve.

storm je napisao:gde se izgubilo ovo [inlmath]\cdot2[/inlmath] kod [inlmath]25[/inlmath] nakon deljenja sa [inlmath]2^{2x}[/inlmath].

Da, pogrešno je napisano, obe strane se dele sa [inlmath]2^{{\color{red}3}x}[/inlmath], a ne sa [inlmath]2^{{\color{red}2}x}[/inlmath].