MATEMANIJA

Broj svih realnih rešenja jednačine [inlmath]\sqrt{2x^2-x}+\sqrt{x^2-2x}=\sqrt{x^2+x}[/inlmath] je;
Tačan odgovor je [inlmath]2[/inlmath].

Nisam imao ideju kako da rešim ovu jednačinu. Ako bih kvadrirao, dobio bih velike stepene. Probao sam da uvidim smenu u nekom delu, ali ne uspevam još uvek.

Prebaci drugi sabirak na levoj strani na desnu a potom kvadriraj obe strane.

Frankovo rešenje je vrlo elegantno (naravno, pri prebacivanju drugog sabirka na desnu stranu ne treba zaboraviti uslov da desna strana bude [inlmath]\ge0[/inlmath] jer je leva strana [inlmath]\ge0[/inlmath]), ali ni ako se ne setimo tog finog načina, opet postupak nije preterano komplikovan. Kvadriranjem obe strane originalne postavke dobije se
[dispmath]\sqrt{2x^4-5x^3+2x^2}=x(2-x)[/dispmath] zatim [inlmath]x^2[/inlmath] izađe ispred korena kao [inlmath]|x|[/inlmath],
[dispmath]|x|\sqrt{2x^2-5x+2}=x(2-x)[/dispmath] i zatim se radi za slučajeve kad je [inlmath]|x|=x[/inlmath] i kad je [inlmath]|x|=-x[/inlmath]...
(Nisam naglasio postavljanje uslova definisanosti, ali to se podrazumeva.)