MATEMANIJA

[dispmath]\left(\sqrt x\right)^{\log_3x-1}=3[/dispmath] Ako jednacina ima tacno [inlmath]m[/inlmath] pozitivnih i tacno [inlmath]n[/inlmath] negativnih resenja onda je:
Resenje je [inlmath]m=2[/inlmath], [inlmath]n=0[/inlmath]

Pozdrav, podsetio bih te na tačku 6. Pravilnika. Ako ti treba samo početna ideja, onda tako treba i da naglasiš. A početna ideja bi ovde bila da obe strane logaritmuješ s osnovom [inlmath]3[/inlmath].

Pozdrav! Izvinjavam se za nepostovanje pravila na forumu nov sam ovde.
Ja sam uradio kako sto si mi rekao.
Definisanost [inlmath]x>1[/inlmath]
[dispmath]\log_3\left(\sqrt x\right)^{\log_3x-1}=\log_33\\
\log_3(x)^{\frac{1}{2}\log_3x-1}=1\\
\frac{1}{2}\log_3(x-1)\cdot\log_3x=1\\
\log_3(x-1)\cdot\log_3x=2[/dispmath] Ja sam uspevao i pre da dodjem dovde tako sto bih izrazio logaritam [inlmath]x-1[/inlmath] ali dalje ne znam sta da uradim da bih nasao [inlmath]x[/inlmath]
Pokusao sam i ovo
[dispmath]\log_3x-1=\log_\sqrt x3[/dispmath] Sada bih levu i desnu stranu izrazio preko funkcije kao [inlmath]y=\log_3x-1[/inlmath], [inlmath]y=\log_\sqrt x3[/inlmath]
I trazio bih presek funkcija na grafiku, ali bih tu nasao samo jedno resenje koje je pozitivno, a drugo je kako ja smatram kompleksno posto se ne vidi na grafiku ako ovo sto sam napisao uopste ima smisla.

Obrati pažnju da [inlmath]\log_3x-1[/inlmath] nije jednako [inlmath]\log_3(x-1)[/inlmath].
Logaritmovanje ima prioritet nad sabiranjem/oduzimanjem.
Dakle, [inlmath]\log_3x-1=(\log_3x)-1[/inlmath].

Resenje
Definisanost [inlmath]x>0[/inlmath]
[dispmath]\log_3\left(\sqrt x\right)^{\log_3x-1}=1\\
(\log_3x-1)\log_3\left(\sqrt x\right)=1\\
(\log_3x-1)\frac{\log_3x}{2}=1[/dispmath] Sada uvodim smenu za [inlmath]\log_3 x=t[/inlmath]
Tu se dobije da je [inlmath]\log_3x=2[/inlmath] ili [inlmath]\log_3x=-1[/inlmath]
Tako da su resenja [inlmath]x=9[/inlmath] ili [inlmath]x=\frac{1}{3}[/inlmath] oba su veca od nule tako da su oba tacna.
Puno hvala na pomoci.