MATEMANIJA

Pozdrav!
Imam veliku nejasnocu u vezi ova dva primera sistema.
Resiti sisteme jednacina:

a) [dispmath]x^2+x^2\cdot y^2+x^2\cdot y^4=525\\
x+x\cdot y+x\cdot y^2=35[/dispmath] b) [dispmath]x+y=1\\
x^5+y^5=31[/dispmath] Što se tice resenja pod a) se navodi da se sistem resava deobom datih jednacina, a pod b) da se od petog stepena prve jednacine oduzme druga jednacina.
Da li može neko malo bolje da mi pojasni postupak pogotovo za slučaj pod b)?
Hvala unapred.

a) Nakon pomenutog deljenja ove dve jednačine, dobićeš
[dispmath]x\frac{1+y^2+y^4}{1+y+y^2}=15[/dispmath] Sada brojilac razlomka napišeš tako da ga možeš rastaviti kao razliku kvadrata:
[dispmath]x\frac{1+2y^2+y^4-y^2}{1+y+y^2}=x\frac{\left(1+y^2\right)^2-y^2}{1+y+y^2}=x\frac{\cancel{\left(1+y^2+y\right)}\left(1+y^2-y\right)}{\cancel{1+y+y^2}}=15[/dispmath] (Ako se ne setiš ovog „trika“, uvek možeš primeniti i ono standardno deljenje polinoma. A do istog oblika možeš doći i na treći način, primenom formule za sumu geometrijskog niza kako za [inlmath]1+y^2+y^4[/inlmath], tako i za [inlmath]1+y+y^2[/inlmath].)
Dalje, iz jednačina
[dispmath]x\left(1+y+y^2\right)=35[/dispmath] (koja je zadata postavkom zadatka) i
[dispmath]x\left(1-y+y^2\right)=15[/dispmath] (koju si upravo dobila), možeš njihovim deljenjem a zatim i rešavanjem kvadratne po [inlmath]y[/inlmath], naći dve moguće vrednosti [inlmath]y[/inlmath], a odatle i odgovarajuće vrednosti za [inlmath]x[/inlmath]...

---

b) Kada peti stepen prve jednačine razviješ pomoću binomne formule (što, pretpostavljam, umeš da uradiš) i od nje oduzmeš drugu jednačinu, nakon malo sređivanja dobićeš
[dispmath]xy\left(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3\right)=-6[/dispmath] Odmah vidimo da ovo unutar zagrade „podseća“ na razvoj trećeg stepena, pa ga možemo svesti na taj oblik:
[dispmath]xy\left(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3-x^2y-xy^2\right)=xy\left((x+y)^3-xy(x+y)\right)=-6[/dispmath] Sada umesto svakog od ovih [inlmath]x+y[/inlmath] pišeš [inlmath]1[/inlmath] (jer je [inlmath]x+y=1[/inlmath] na osnovu prve zadate jednačine) i dobićeš kvadratnu po [inlmath]xy[/inlmath]...