MATEMANIJA

Zdravo .

[dispmath]\sqrt[3]{x^{2}-1} \ge x -1[/dispmath]

Ovo je 6. zadatak sa matematičkog 2023. Obe strane sam podigao na treći stepen (što može bez uslova pošto nije paran stepen?), i onda sam uz uslov da [dispmath]x \neq 0[/dispmath] podelio sa x.

Dobio sam kvadratnu čije je rešenje [1,3].

To je deo rešenja, ali nejednačina takođe važi za interval [dispmath][-\infty , 0][/dispmath].

Gde mi je nestao ovaj drugi deo :/ ?

Zdravo, dobro došao na forum.

Taj deo je nestao prilikom deljenja sa [inlmath]x[/inlmath]. Naime, pošto ovo nije jednačina nego nejednačina, kod deljenja sa [inlmath]x[/inlmath] treba biti oprezan, jer ako je [inlmath]x[/inlmath] negativno, tada se menja smer znaka nejednakosti, pa treba razlikovati slučaj da je [inlmath]x[/inlmath] pozitivno, i slučaj da je [inlmath]x[/inlmath] negativno. Naravno, i [inlmath]x=0[/inlmath] je takođe rešenje ove jednačine, što uzimamo u obzir pre deljenja sa [inlmath]x[/inlmath].

Umesto deljenja sa [inlmath]x[/inlmath], dosta bi bolje bilo izvući [inlmath]x[/inlmath] ispred zagrade, pa tada imamo
[dispmath]x\left(x^2-4x+3\right)\le0[/dispmath] pa onda faktorišemo i taj deo u zagradi,
[dispmath]x(x-1)(x-3)\le0[/dispmath] čime dobijemo da su kritične tačke [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath]. Zatim nejednačinu rešavamo preko tabele. Znaš li kako se to radi?