2001. clan aritmetickog niza

od **_Mita** » Subota, 29. Jun 2013, 13:06

Ako se zbir [inlmath]n[/inlmath] clanova aritmetickog niza moze dobiti po formuli [inlmath]S_n={(n+1)}^2-1[/inlmath], onda je [inlmath]2001.[/inlmath] clan niza jednak?

Ja sam pokusao da izjednacim datu formulu sa formulom [inlmath]S_n=\frac{n}{2}\cdot(2a_1+(n-1)\cdot d)[/inlmath]. I dobio
[dispmath]\frac{n}{2}\cdot(2a_1+(n-1)\cdot d)=n^2+2n\cancel{+1}\cancel{-1}[/dispmath][dispmath]\frac{n}{2}\cdot(2a_1+(n-1)\cdot d)=n\cdot (n+2)[/dispmath][dispmath]\frac{n}{2}\cdot(2a_1+(n-1)\cdot d)=\frac{n}{2}\cdot (2n+4)[/dispmath]
Nakon toga sam podelio jednacinu sa [inlmath]\frac{n}{2}[/inlmath]:
[dispmath]2a_1+(n-1)\cdot d=2n+4[/dispmath]
Kada sam uzeo vrednost [inlmath]n=1[/inlmath] dobio sam:
[dispmath]2a_1=6\\
a_1=3[/dispmath]
A onda sam uzeo [inlmath]n=2[/inlmath] i dobio:
[dispmath]d=2\\
a_{2001}=4003[/dispmath]
Da li je ovaj postupak dobar? Sumnjivo mi je zato sto nisam do sada radio zadatke na ovaj nacin

od **forzajuve** » Subota, 29. Jun 2013, 13:59

Postupak je dobar, a to mozes i da proveris.
Posto si dobio da je [inlmath]a_1=3\quad d=2[/inlmath] znaci imamo niz [inlmath]3,5,7,9,11\dots[/inlmath]
E sad u zadatku kaze da zbir svih clanova moze da se racuna i po formuli:
[dispmath]S_n=(n+1)^2-1[/dispmath] pa racunamo samo za prvih pet clanova (da napomenem, mi ne znamo koliko ima clanova - uzimamo npr. prvih pet clanova samo da proverimo - ti mozes da uzmes i vise clanova radi provere)
[dispmath]S_n=(5+1)^2-1=35[/dispmath]
Zatim proveris i sa formulom:
[dispmath]S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d][/dispmath][dispmath]S_n=\frac{5}{2}[6+(5-1)2][/dispmath][dispmath]S_n=\frac{5}{2}[6+8][/dispmath][dispmath]S_n=\frac{5}{2}\cdot 14[/dispmath][dispmath]S_n=35[/dispmath]

od **_Mita** » Subota, 29. Jun 2013, 14:04

Provera nije problem, mene je mucilo samo ovo uzimanje razlicitih vrednosti za [inlmath]n[/inlmath], ali ako kazes da je dobro super

od **Daniel** » Subota, 29. Jun 2013, 16:33

Potvrđujem Forzin odgovor. :mhm:

Broj [inlmath]n[/inlmath] nam ne predstavlja broj članova niza (niz može imati i beskonačno članova), broj [inlmath]n[/inlmath] samo koristimo da bismo izračunali sumu prvih [inlmath]n[/inlmath] članova niza koje posmatramo.

od **Frank** » Utorak, 05. Maj 2020, 22:16

Ostaviću jos jedan način na koji bismo mogli uraditi ovaj zadatak iz ove teme. Ovaj postupak je malo brzi od gore navedenog, pa neće biti loše da i njega imamo na forumu.
U formulu [inlmath]S_n=(n+1)^2-1[/inlmath], da bismo odredili koliko iznosi prvi član niza, umesto [inlmath]n[/inlmath] pišemo [inlmath]1[/inlmath]. Dakle [inlmath]S_1=a_1=3[/inlmath]. Zbir prva dva člana niza cemo odrediti kada u formulu [inlmath]S_n=(n+1)^2-1[/inlmath], umesto [inlmath]n[/inlmath] pišemo [inlmath]2[/inlmath]. Dobijamo da je zbir prva dva člana [inlmath]8[/inlmath], pa je [inlmath]a_2=8-a_1=5[/inlmath]. Sada imamo vrednosti dva uzastopna člana niza, pa mozemo Izračunati razliku niza, [inlmath]d=a_2-a_1=2[/inlmath]. Imamo prvi član i razliku niza tako da mozemo odrediti bilo koji član.
[dispmath]a_{2001}=3+(2001-1)\cdot2\\
a_{2001}=4003[/dispmath]

2001. clan aritmetickog niza

2001. clan aritmetickog niza

Sharuj ovu temu na:

Re: 2001. član aritmetickog niza

Re: 2001. član aritmetickog niza

Re: 2001. član aritmetickog niza

Re: 2001. clan aritmetickog niza

Ko je OnLine